Permutación: Distribuir 10 artículos distintos en 3 cajas: una caja contiene número impar, objeto de un cuadro de número par, y todas las cajas al menos un elemento.

Question

Deseo distribuir $10$ juguetes distintos a mi % de niños $A, B$y $C$. Cada niño debe obtener al menos un juguete, pero $A$ debe recibir una cantidad de juguetes, mientras que $C$ debe recibir un número impar.

¿De cuántas maneras puedo ir sobre mi distribución?

Es una pregunta de examen. Había tropezado haciendo mi revisión, pero aún no pude averiguar cómo resolverlo.

Answer 1

Creo que esta solución se mantenga.

Como, $A$ recibir un no. de juguetes, $A$ puede conseguir $2,4,6 \text { and } 8$ número de juguetes.

Ahora, considerar varios casos: Whan $A$ pasa $2$ juguetes, $8$ juguetes están a la izquierda. Así, los más de dos obtiene un número impar de juguetes. Por eso, $B$ puede conseguir $1,3,5,7$ número de juguetes.

Así, el no. de formas se $${10\choose 2}\left({8\choose 1}+{8\choose 3}+{8\choose 5}+{8\choose7}\right)\tag1$$

Aquí, $\binom {10}2$ es para la selección de $2$ juguetes para $A$$10$.

Del mismo modo, cuando se $A$ pasa $4$ juguetes, $6$ son de izquierda. Por eso, $B$ puede conseguir $1,3,5$ no. de juguetes. Así, en forma análoga, el no. de manera es $${10\choose 4}\left({6\choose1}+{6\choose3}+{6\choose5}\right)\tag2$$.

Del mismo modo, en el caso de $A$ pasa $6$ juguetes, de los que no. de formas se $${10\choose 6}\left({4\choose1}+{4\choose3}\right)\tag3$$

Y, al $A$ pasa $8$ juguetes, de los que no. de formas se $${10\choose8}{2\choose1}\tag4$$

Sumando todos los $(1),(2),(3)\text{ and }(4)$ y el cálculo de [sugerencia: ${n\choose r}={n\choose n-r}$], se obtiene el resultado deseado.

Aquí uno puede decir por qué estoy ignorando el caso de $C$, es sólo porque, cuando estoy teniendo en cuenta los casos de $A$ $B$ no recibe ninguna. de juguetes, el resto de los juguetes, obviamente, va a $C$, de modo que no es necesario considerar que el caso.

Answer 2

Deje $|X|$ denotar el número de juguetes de niño $X$ recibido. A continuación, $|B|$ tiene que ser impar así. Supongamos primero que $|B|<|C|$. Entonces tenemos $$ (|A|,|B|,|C|)\en\{(2,1,7),(2,3,5),(4,1,5),(6,1,3)\} $$ El número de combinaciones puede ser considerado como: $$ \binom{10}2\cdot\binom81+\binom{10}2\cdot\binom83+\binom{10}4\cdot\binom61+\binom{10}6\cdot\binom41=4980 $$ Por la simetría de $|B|,|C|$, esta cifra debe ser el doble para cubrir casos $|C|<|B|$. Ahora suponga $|B|=|C|$. Entonces $$ (|A|,|B|,|C|)\en\{(4,3,3),(8,1,1)\} $$ dando cifras de $$ \binom{10}4\cdot\binom63+\binom{10}8\cdot\binom21=4290 $$ y estos NO debe ser duplicado. Terminamos con $$ 2\cdot 4980+4290=14250 $$ maneras en que esto puede lograrse en total.

Answer 3

Vamos a hacerlo para $n$ juguetes.

Cada término en $(A+B+C)^n$, aumentó sin hacer uso de la conmutatividad de la $A$, $B$, y $C$, corresponde a una forma de asignar los juguetes. Queremos eliminar los términos en la que el grado de $A$ es impar o el total del grado de $C$ es incluso. Esto se puede hacer mediante el cálculo de $$ \frac{1}{4}\left[(a+B+C)^n+(-a+B+C)^n-(a+B-C)^n-(-a+B-C)^n\right]. $$ Ahora queremos eliminar los términos en la que el grado de cualquiera de $A$, $B$, o $C$$0$. Desde la total grado de $C$ ahora está garantizado impar, sólo tiene que preocuparse de $A$$B$. Se pueden eliminar los términos que no contienen ningún factor de $A$ o cualquier factor de $B$ restando de la expresión anterior la expresión con $A$$0$, restando la expresión con $B$$0$, y, finalmente, mediante la adición de la expresión con tanto $A$ $B$ $0$ (para compensar la doble resta). Tenemos $$ \begin{aligned} &\frac{1}{4}\left[(A+B+C)^n+(-A+B+C)^n-(A+B-C)^n-(-A+B-C)^n\right]\\ &\quad-\frac{1}{2}\left[(B+C)^n-(B-C)^n\right]-\frac{1}{4}\left[(A+C)^n+(-A+C)^n-(A-C)^n-(-A-C)^n\right]\\ &\quad+\frac{1}{2}\left[C^n-(-C)^n\right]. \end{aligned} $$ El número de términos en la expresión resultante se encuentra estableciendo $A=B=C=1$. Esto le da $$ \frac{1}{4}\left[3^n-(-1)^n\right]-\frac{1}{2}\left[2^n-0^n\right]-\frac{1}{4}\left[2^n+0^n-0^n-(-2)^n\right]+\frac{1}{2}\left[1^n-(-1)^n\right]. $$ Esta fórmula funciona para cualquier $n$, incluyendo a $n=0$ con la convención de las $0^0=1$. Si asumimos $n>0$, puede hacer que la fórmula un poco más conciso; del mismo modo, si usted restringir impar $n$ o $n>0$ usted puede obtener un poco más corta fórmulas: $$ \begin{cases} 0 & n=0,\\ \frac{1}{4}\left[3^n+1\right]-2^n+1 & \text{%#%#% odd,}\\ \frac{1}{4}\left[3^n-1\right]-2^{n-1} & \text{%#%#%, even.} \end{casos} $$