Supongamos que queremos encontrar los valores de $a$ tal que hay cuatro reales y distintas de las raíces (los valores de $x$ tales que la ecuación es verdadera).
Esto significa que si dejamos $x^2+x=t$ como lo hizo, entonces queremos los dos posibles valores de $t$ a ser distinto. Llamarlos $t_1$$t_2$. Queremos que las siguientes dos ecuaciones tienen dos raíces, y que todas las raíces son distintas:
$$x^2+x-t_1=0$$
$$x^2+x-t_2=0$$
La fórmula cuadrática da
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4t_1}}{2}$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4t_2}}{2}$$
Esto significa que queremos que $t_1\neq t_2$, e $$t_1,t_2 > -\frac{1}{4}$$
Tenga en cuenta que esta desigualdad es estricta, ya que un factor determinante de la $0$ daría una doble raíz.
Ahora podemos volver a la ecuación con $a$. Queremos saber que $a$ permite que las dos raíces de la siguiente ecuación para satisfacer $t_1\neq t_2$$t_1,t_2 > -1/4$.
$$t^2+at+4=0$$
Usamos la fórmula cuadrática de nuevo:
$$t_1=\frac{-a + \sqrt{a^2-16}}{2}$$
$$t_2=\frac{-a - \sqrt{a^2-16}}{2}$$
Ya que queremos que dos de los valores reales de $t$, $a$ debe tener el valor absoluto estrictamente mayor que $4$, para asegurar que las estrictamente positivo determinante.
También queremos $a$, de forma que ambas de estas desigualdades se sostiene:
$$\frac{-a + \sqrt{a^2-16}}{2} > -\frac{1}{4}$$
$$\frac{-a - \sqrt{a^2-16}}{2} > -\frac{1}{4}$$
La segunda desigualdad implica la primera, por lo que es suficiente que la segunda sostiene. Es equivalente a
$$2a < 1 - 2\sqrt{a^2-16}$$
Claramente todos los valores de $a$ mayor que $4$ no trabajan. Nos quedamos con $a < -4$.
En $a=-4$, $$1-2\sqrt{a^2}-16 > 2a$$
Deje $f(a)=1-2\sqrt{a^2-16}$$g(a)=2a$. Observe que $f(a)$ es mayor que $g(a)$$a=-4$. La ecuación de $f(a)=g(a)$ no tiene soluciones (para ver por qué, restar uno a ambos lados y de la plaza). Esto significa $f(a)$ nunca cruces $g(a)$, y dado que ambas funciones son continuas en a $a \in (-\infty, 4]$, sabemos que $f(a)$ es mayor que $g(a)$ todos los $a\leq -4$.
Los valores de $a$ tal que hay cuatro reales y distintas raíces son todas las $a$ tal que $\boxed{a < -4}$.
Este mismo método (usando la fórmula cuadrática primera en $x^2+x=t$,$t^2+at+4=0$, haciendo el trabajo de casos en cada paso) se puede aplicar a las otras partes de la pregunta. Buena suerte!
