¿Cómo puedo solucionar $x^x = 5$ $x$?

Question

Posibles Duplicados:
Es $x^x=y$ solución para $x$?

He estado jugando con esta ecuación por un tiempo y ahora no puedo averiguar cómo aislar $x$.

Me he vuelto a $x \ln x = \ln 5$, lo que parece que sería más fácil trabajar con, pero no puedo averiguar dónde ir desde allí.

Es posible solucionar este algebraicamente? Si no, ¿cómo puedo encontrar el valor de $x$?

Answer 1

Podemos encontrar el resultado de la función W de Lambert.

Vamos a definir $y\,e^y=t$. A continuación, $y=W(t)$ donde $W(t)$ es la función W de Lambert.

$$x=e^y\Rightarrow x^x= (e^y)^{e^y}=e^{y\,e^y}=5$$

$$\log e^{y\,e^y}=\log 5$$

$$y\,e^y\log e=y\,e^y=\log 5$$

Por lo tanto, $t=\log 5$, y a partir de mi primera definición $y=W(\log 5)$, lo $x=e^y=e^{W(\log 5)}$.

Puede ser expresada también de otra manera.

$$xy=y\,e^y=t=\log 5$$

$$x=\frac{\log 5}{y}=\frac{\log 5}{W(\log 5)}$$

Me preguntó Wolfram Alpha cuál es el valor numérico, y se dice $x\approx2.129372$.

Answer 2

No es posible solucionar el problema algebraicamente.

Mira la función W de Lambert. En su caso, la solución es $x=\frac{\ln(5)}{W(\ln(5))}$.