Quiero demostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n) = 0$ donde $a_n = \tan(n) (\frac{1}{e})^{n}$
Mi argumento es que: $\tan(n) = \frac{\sin(n)}{\cos(n)} \in \mathbb{R}$ para $n \in \mathbb{N}$ ya que cos(x) sólo tiene raíces de la forma $x = -\frac{\pi}{2} + \pi k , k \in \mathbb{Z}$ .
La convergencia del otro término es evidente.
¿Es correcto?
@Daniel Fischer ya señaló su relevancia para la noción de medida de irracionalidad.
Esto está relacionado con la siguiente pregunta:
A qué velocidad $n$ se acerca al conjunto cero $\frac{\pi}{2} + \pi \Bbb{Z}$ de $\cos x = 0$ ?
No queremos una situación en la que (una subsecuencia de) $\cos n$ decae tan rápido que incluso puede superar el factor exponencial $e^{-n}$ . En otras palabras, queremos que $n$ se mantiene moderadamente lejos del cero fijado $\frac{\pi}{2} + \pi \Bbb{Z}$ .
En relación con esta cuestión está la medida de irracionalidad de $1/\pi$ . En particular, si la medida de irracionalidad $\mu$ de $1/\pi$ es finito, entonces para cada $\epsilon > 0$ existe $c = c(\epsilon) > 0$ tal que
$$ \forall q \in \Bbb{N}^{+}, p \in \Bbb{Z}, \quad \left| \frac{1}{\pi} - \frac{p}{q} \right| \geq \frac{c}{q^{\mu+\epsilon}}. $$
Ahora enchufemos $q = 2n$ y $p = 2k+1$ . Manipulando un poco la desigualdad, encontramos que para alguna constante $c' = c'(\epsilon) > 0$ ,
$$ |n - (k+\tfrac{1}{2})\pi| \geq c' n^{-(\mu+\epsilon-1)}. $$
Esto implica que $\cos n$ se mantiene alejado de $0$ de forma predecible: si $n$ es grande, entonces
$$ |\cos n| \geq |\sin(c' n^{-(\mu+\epsilon-1)})| \geq \frac{2c'}{\pi} n^{-(\mu+\epsilon-1)}. $$
De ello se deduce que
$$ |e^{-n}\tan n| \leq C n^{\mu+\epsilon-1} e^{-n} \xrightarrow[n\to\infty]{ } 0. $$
Por último, se demuestra que $\mu$ es efectivamente finito. Por lo tanto $e^{-n} \tan n$ converge a $0$ .
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¿Qué en ese argumento iría mal si en $a_n = f(n)\bigl(\frac{1}{e}\bigr)^n$ elegimos $f(n) = e^n$ en lugar de $f(n) = \tan (n)$ ?
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No estoy seguro de entender su punto de vista. El límite está claramente definido como f(n) = tan(n). ¿Supongo que quieres decir que este argumento no generaliza para f(n) una función arbitraria? Sólo necesito demostrar este caso concreto. ¿O estás señalando un fallo directo en mi argumento dentro de la definición dada del problema?
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En realidad, la secuencia $\tan n$ es muy irregular. No creo que el límite $\lim_n \tan n / e^n$ existe. Por cierto, tu argumento no es correcto, ya que necesitas demostrar que $\tan n$ está acotada, mientras que tu argumento simplemente dice que está bien definida usando la irracionalidad de $\pi$ .
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Su argumento sólo utiliza el hecho de que $\tan n \in \mathbb{R}$ para $n\in \mathbb{N}$ . Si el argumento fuera correcto, funcionaría para todas las funciones con esa propiedad.
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Tienes razón, esto no basta (a priori) para demostrar que f(n) está acotada. La idea implícita de mi argumento era que como $\cos n$ no va hacia 0, el cociente estará acotado por un número real. Ahora veo que no es necesariamente cierto, ya que podría haber una manera de acercarse siempre a $\cos n = 0$ con mayor $n$ . Así que la convergencia no está demostrada, aunque supongo que no debería ser demasiado difícil de demostrar para $n \in \mathbb{N}$ . ¿Es correcto lo que he entendido?
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@Symeof Sí: ahora has entendido dónde está el asunto. En mi opinión la prueba de que tu sucesión converge debe ser bastante dura y peliaguda. Una vez que demuestres que converge, entonces es bastante obvio que el límite es $0$ .
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@Crostul $\pi$ tiene un medida de irracionalidad menos de $8$ Así que $$\biggl\lvert \pi - \frac{2n}{2k+1}\biggr\rvert > \frac{c}{k^8}$$ para algunos $c$ Por lo tanto $\bigl\lvert\bigl(k+\frac{1}{2}\bigr)\pi - n\bigr\rvert > \frac{c'}{k^7}$ . Si $\frac{2n}{2k+1}$ está cerca de $\pi$ entonces " $k\in \Theta(n)$ "por lo que tenemos $\lvert\cos n\rvert > \frac{c''}{n^{7}}$ de donde $\lvert\tan n\rvert < K\cdot n^{7}$ Así que $e^{-n}\tan n \to 0$ .
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@DanielFischer ¿Entonces esto fallaría si reemplazamos $n$ con $\frac{L}{\pi} n$ donde $L$ ¿es un número de Liouville?
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@Ian Rather $\frac{\pi}{L}n$ o algo similar. Entonces puede fallar, no estoy seguro. Eso garantiza que tenemos $n$ con $f(n) > n^k$ para cada $k$ pero el exponencial aún puede ganar.
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@Symeof ¿Por qué son importantes para ti las raíces del seno?
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@principal-ideal-domain : En efecto, no importan. Sólo los de cos(n).