Definir una rama de $(z^2 − 1)^{1/2}$ que es analítica en la unidad de disco.

Question

Sugerencia: $z^2 − 1 = (z + 1)(z − 1)$.

Realmente estoy luchando con esta pregunta. Entiendo que para que esta función sea analítica tiene que ser diferenciable en algún barrio, pero no tengo idea de por dónde empezar ni cómo buscar y elegir una rama.

Answer 1

Una de las muchas maneras de hacerlo es la siguiente: $f(z)=g(z)h(z)$ donde $g(z)=\sqrt{z-1}$, definidos en$\mathbb C\smallsetminus [1,\infty)$$h(z)=\sqrt{z+1}$, definidos en $\mathbb C\smallsetminus (-\infty,-1]$.

Ahora, ¿cómo podemos definir la $h(z)=\sqrt{z+1}$$\mathbb C\smallsetminus (-\infty,-1]$?

Cada $z\in \mathbb C\smallsetminus (-\infty,-1]$ puede escribirse de forma ÚNICA como $z=-1+r\mathrm{e}^{i\vartheta}$,$r>0$$\vartheta\in (-\pi,\pi)$. a continuación, mostrar que la función $$H(r,\vartheta)=r^{1/2}\mathrm{e}^{i\vartheta/2},$$ para$r>0$$\vartheta\in (-\pi,\pi)$. Usted puede hacer que expresan de Cauchy-Riemann ecuaciones con respecto a $r$ $\vartheta$ (Ver $(3)$ en este papel.)

Answer 2

Si hacemos la rama de corte a lo largo de $\{x\in\mathbb{R}:|x|\ge1\}$ y definir $$f(z)=\frac{\pi i}{2}+\frac12\int_0^z\left(\frac1{w-1}+\frac1{n+1}\right)\,\mathrm{d}w$$ a continuación, $f$ está bien definido ya que no podemos círculo, ya sea singularidad con la rama de corte. Además, $$\sqrt{z^2-1}=e^{f(z)}$$

Answer 3

Definir $$f(z)= \sqrt{z^2-1}$$

Entonces la función tiene dos puntos de ramificación en $z,=1,z=-1$, por Lo que puede ser extendida a todo el plano complejo excepto en dos cortes de ramas elegido correctamente.

usted puede elegir la rama de corte en $z^2-1\geq 0$ os $z\geq 1 \text{ and } z\leq -1$.

Esto es como definir el argumento como un solo valores de la función por la elección de

$$\text{arg}(z) \in (0,2\pi]$$

Por tanto, nos encontramos aquí con la elección de la mitad de la línea de $z\geq 0$ a la rama de corte . Simiarily para la función

$$f(z)=z^{\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2} \text{Log}(z)}$$

Aquí estamos optando por el principio, por lo que la función logaritmo es el principio de la raíz y es analítica para $z \in \mathbb{C}/(-\infty,0]$.

Answer 4

es muy simple, si usted utiliza los gráficos, por lo que el uso de z-1 =r1×e^Itheta1, y por lo que z+1=r2×e^itheta2, que la función de convertirse en f (z)=sqr (r1r2)×e^I ((theta1+thêta2)/2), el estudio de la argumentación mediante el uso de una gráfica.