Deje que $S$ ser un subconjunto multiplicador cerrado de un anillo noetérico conmutativo $A$ . Deje que $M$ y $N$ se generará finamente $A$ -módulos. Si $M_S$ es isomorfo a $N_S$ mostrar que $M_t$ es isomorfo a $N_t$ para algunos $t \in S.$
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Santosh A
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Desde $M$ se presenta finamente, tenemos que $$ \text {Hom}_A(M,N)_S \cong \text {Hom}_{A_S}(M_S, N_S) \text { (*)}$$
a través del mapa que toma $f/s$ al producto del mapa constante $1/s$ y el mapa de $M_S$ a $N_S$ inducido por $f$ por el THM 7.11 en la "Teoría del Anillo Conmutador" de Matsumura. Toma $f \in \text {Hom}_{A_S}(M_S, N_S)$ para ser un isomorfismo. Supongamos que $g/s \in \text {Hom}_R(M,N)_S$ mapas para $f$ bajo isomorfismo (*). Luego $g$ debe inducir un isomorfismo de $M_S$ a $N_S$ .
Tenemos una secuencia exacta
$$0 \rightarrow \ker g \rightarrow M \rightarrow N \rightarrow \text {coker }g \rightarrow 0.$$
Fíjate en que $( \ker g)_S=0=( \text {coker } g)_S$ . Desde $ \ker g$ y $ \text {coker } g$ se generan de forma finita, podemos elegir $a \in \text {Ann}_A( \ker g) \cap S$ y $b \in \text {Ann}_A( \text {coker } g) \cap S$ . Ahora, toma $t:=ab$ .
Jeff
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804
Hay una declaración geométrica más general cuya prueba encuentro un poco más clara.
Deje que $F,G$ de módulos sobre un espacio anillado $X$ . Si $F$ es de presentación finita, entonces $ \underline { \hom }_{ \mathcal {O}_X}(F,G)_x \to \hom_ { \mathcal {O}_{X,x}}(F_x,G_x)$ es un isomorfismo (se reduce fácilmente al caso $F= \mathcal {O}_X$ ). Por lo tanto, si $F,G$ son de presentación finita, y $F_x \cong G_x$ entonces hay secciones locales de $ \underline { \hom }(F,G)$ y $ \underline { \hom }(G,F)$ en $x$ que componen la identidad en $ \underline { \hom }(F,F)_x$ y $ \underline { \hom }(G,G)_x$ . Ambas igualdades se mantienen en realidad como secciones locales de $ \underline { \hom }(F,F)$ y $ \underline { \hom }(G,G)$ para algún pequeño vecindario abierto $U$ de $x$ . Esto muestra $F|_U \cong G|_U$ .
Si aplicamos esto a las poleas casi coherentes en un esquema de afinidad, obtenemos que si $M_{ \mathfrak {p}} \cong N_{ \mathfrak {p}}$ para módulos finamente presentados sobre algún anillo conmutativo $A$ (no se asume que sea noeteriano) para algún ideal primario $ \mathfrak {p}$ entonces hay algo de $f \notin \mathfrak {p}$ con $M_f \cong N_f$ . Si más generalmente $M_S \cong N_S$ para algún subconjunto multiplicador $S$ entonces podemos asumir $0 \notin S$ y localizar en un ideal de primera clase $ \mathfrak {p}$ se desarticula de $S$ . Entonces estamos en la situación anterior.
