El año pasado en un concurso de matemáticas que se celebró en Cataluña se llama Cangur se plantea la siguiente qüestion:
Escribimos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10, en un cierto orden, alrededor de una circunferencia. A continuación, resumimos cada número con sus dos vecinos y tenemos 10 sumas. Cual es el valor máximo que puede tener la menor de estas cantidades?
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
Mi primer acercamiento ha sido a sumar todos los trillizos. Al hacer eso, voy a conseguir un número que no cambie de forma independiente a partir de la orden de los números alrededor de la circunferencia.
$$ (1+2+3)+(2+3+4)+(3+4+5)+\puntos+(10+1+2)= \sum\limits_{n=1}^{10} 3n=165 $$
Por lo tanto, puedo deducir que el promedio de la suma de cada triplete es $16.5$, lo que automáticamente descarta $17$$18$, de ser la respuesta correcta. Porque si uno de los trillizos agregó $17$, con el fin de mantener el promedio en $16.5$, necesitaríamos algún otro triplete para sumar menos de $17$, lo que implicaría que este triplete sumando $17$ no fue el más bajo del trío. Y la misma explicación podría trabajar para $18$.
También puedo descartar $16$ debido a que en el fin de mantener el promedio en $16.5$ necesitaríamos más de la mitad de los trillizos añadir $16$. Y, aunque no estoy 100% seguro de esta afirmación, creo que puede ser demostrado que no hay 5 posibles maneras de añadir hasta $16$ que puede ser escrito alrededor de la circunferencia.
En cualquier caso, incluso si mi último supongo que era cierto, no estoy seguro de cómo proceder en este punto. No sé cómo elegir entre $14$ $15$ y no me gusta pensar que la única manera de encontrar la respuesta correcta es para probar y ver si funciona. Así que si algunos de ustedes han encontrado otras maneras de afrontar el problema realmente lo apreciaría si usted compartido. Gracias!
Edit: con el fin De entender mejor lo que quiero decir por estos 10 sumas de trillizos, aquí un esquema que muestra que visualmente para los tres primeros sumas. Yo también quiero dejar en claro que el orden de los números en el dibujo no es el orden en que se deben resolver el problema.
