Número infinito de formas de escribir $1=\frac{1}{n}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_k}$

Question

¿Cómo puedo demostrar que hay un número infinito de formas en las que $1$ puede escribirse de la forma $$1=\frac{1}{n}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_k},$$ donde $n>1$ es un número entero (este número es fijo), cada $a_i$ es un número entero y $n<a_1<\cdots<a_k.$

No sé qué hacer Gracias por su ayuda.

Answer 1

Sugerencia : Para cualquier número entero $a_k > 1$ tenemos $\dfrac{1}{a_k} = \dfrac{1}{a_k+1} + \dfrac{1}{a_k^2+a_k}$ , donde $a_k+1 < a_k^2+a_k$ .

Por lo tanto, si $1 = \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_{k-1}}+\dfrac{1}{a_k}$ para algunos enteros $n < a_1 < \cdots < a_{k-1} < a_k$ entonces también tenemos $1 = \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_{k-1}}+\dfrac{1}{a_k+1} + \dfrac{1}{a_k^2+a_k}$ , donde $n < a_1 < \cdots < a_{k-1} < a_k+1 < a_k^2+a_k$ .

Deberías poder terminar la prueba a partir de esto.