¿Existe que un % polinomio cuártico $p(x)\in\mathbb{Q}[x]$irreducible con cuatro raíces reales tales que el grupo de Galois es ${S_4}$?
¿Si realmente existe, alguien me puede dar un ejemplo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como se indicó en los comentarios a una pregunta relacionada con la y como se muestra en Keith Conrad notas, un grado-$4$ polinomio de $K[X]$ donde $K$ es un campo con $\operatorname{char}K\not\in\{2,3\}$, ha Galois grupo $S_4$ si
- es irreducible sobre $K$ (por lo tanto su grupo de Galois es de orden divisible por $4$), y
- su resolvent cúbicos es irreducible sobre $K$ (así el grupo de Galois es de orden divisible por $3$), y
- su discriminante no es un cuadrado en $K$ (por lo tanto el grupo de Galois no es un subgrupo de $A_4$).
Ahora considere la posibilidad de $$f(X) = X^4 - 6 X^2 + 2 X + 2$$ que cambia de signo entre el $-\infty,-1,0,+1,+\infty$ y por lo tanto tiene cuatro raíces reales.
$f(X)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ por el criterio de Eisenstein con $p=2$. Por lo tanto, su grupo de Galois es de orden divisible por $4$.
El resolvent cúbicos de $f(X)$ es $$\begin{align} g(X) &= X^3 + 6 X^2 - 8 X - 52 & g(X-2) &= X^3 - 20 X - 20 \end{align}$$ por lo $g(X-2)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ por el criterio de Eisenstein con $p=5$, lo $g(X)$ es irreducible sobre$\mathbb{Q}$. La extensión de licenciatura de la división de campo de la $g(X)$ $\mathbb{Q}$ por lo tanto es divisible por $3$. Por la construcción de la resolvent cúbicos, la división de campo de la $g(X)$ está contenida en la división de campo de la $f(X)$, de modo que el orden del grupo de Galois de $f(X)$ debe ser divisible por $3$.
De nuevo por la construcción, el discriminante de $f(X)$ el discriminante es igual a de $g(X)$ e de $g(X-2)$, que es $$\Delta=21200$$ Reconocer fácilmente el cuadrado de $100$ como un factor, pero el cofactor $212\equiv2\pmod{5}$ no es un cuadrado. Por lo tanto, $\Delta$ no es un cuadrado en $\mathbb{Q}$. En consecuencia, el grupo de Galois de $f(X)$ no es un subgrupo de $A_4$.
Resumiendo los resultados anteriores, el grupo de Galois de $f(X)$ tiene fin divisible por $3$$4$, sin embargo, no es un subgrupo de $A_4$. Esto deja a $S_4$ como sólo es posible Galois grupo para $f(X)$.
