Matrices tales que$A^2=A$ y$B^2=B$

Question

Deje $A,B$ dos matrices de $M(n,\mathbb{R})$ tal que $$A^2=A\quad\text{and}\quad B^2=B$$ A continuación, $A$ $B$ son semejantes si y sólo si $\operatorname{rk}A = \operatorname{rk}B$.

La primera implicación es bastante fácil, debido a que el rango es un invariante bajo la matriz de similitud. Pero la segunda es un poco desconcertante para mí. Pensé de razonamiento lineal asignaciones en lugar de matrices. Mi razonamiento era, básicamente, que si consideramos la matriz como un mapeo lineal con respecto a la base canónica ($T(v)$ para la matriz $A$, $L(v)$ para la matriz de $B$) luego tenemos a $$T(T(v))=T(v)\quad\text{and}\quad L(L(v))=L(v)$$ para todos los $v \in V$. A continuación, la asignación debe ser el $0$ o de la función de la identidad de la función (si este fuera el caso, entonces el resto de la manifestación iba a ser fácil). Pero pronto me di cuenta de que la equiparación de los argumentos de la función, en general, no funciona.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Tu manera de pensar es muy buena.

Sugerencia: Si$L:V\to V$ es una transformación lineal idempotente ($L^2=L$) entonces$$V=\ker L\oplus{\rm im\,}L\,.$ $

Utilice la descomposición$v=(v-Lv)+Lv$.

Answer 2

Berci, básicamente, me dio la solución, se olvidó de añadir (¡gracias!). Aquí está, para evitar dejar cosas sin resolver:

Para una matriz idempotente, tenemos $V=\operatorname{ker}T\oplus\operatorname{Im}T$. Ahora, si $v\in\mathbb{R^n}$, $\exists w \in \mathbb{R^n}$ tal que $T(w)=v$. A continuación,$T(T(w))=T(v)$, pero, a continuación,$T(w)=T(v)=v$. Así que toma una base de $\operatorname{Im}A$ y una base de $\operatorname{ker}A$ y unirse a ellos por lo que automáticamente se tiene un vector propio. La matriz de la aplicación lineal de asignación con respecto a esta base será una matriz con $0$ todas partes, pero en la diagonal, y en la diagonal como muchos de $1$'s como el rango de la cartografía y de tantos ceros como la dimensión del núcleo. Así, si dos idempotente matrices tienen el mismo rango, a continuación, que son similares a la misma matriz que hemos construido, y, a continuación, que son similares el uno al otro.