Triangulación del Toro

Question

Se me pidió que averiguara los grupos de homología simplicial del toro $T=S^1\times{}S^1$ incrustado en $R^3$. Triangulé el toro de esta manera:

Aquí los $0$-simplejos son $\{v_0\}$. Los $1$-simplejos son $\{a,b,c\}$ y los $2$-simplejos son $\{D_1,D_2\}$. Y encontré los grupos de homología: $H_0(T)=\mathbb{Z}, H_1(T)=\mathbb{Z}^2,H_2(T)=\mathbb{Z}$

Pero mi profesora dijo que estaba mal, porque la triangulación no es correcta. Según ella debería ser:

No entiendo qué está mal en mi triangulación del toro $T$. ¿Alguien puede aclararme esto? ¡Gracias! (¡Disculpa las imágenes rudimentarias!)

Answer 1

Según @Pece, tu cálculo es correcto, ya que la homología se puede calcular con tipos de complejos bastante generales.

Pero parece que tu profesor quiere que entiendas la definición de un complejo simplicial, y probablemente esté utilizando una definición de una triangulación que requiere que sea un complejo simplicial.

En un complejo simplicial, se requiere que cada símplice esté incrustado, pero ninguno de tus 1-símplices $a$, $b$ y $c$ están incrustados, porque cada uno tiene sus dos extremos adjuntos al mismo $0$-símplex $v_0.

Además, se requiere que la intersección de cualquier par de símplices sea un símplice, pero tus 2-símplices $D_1, D_2$ se intersecan en $a \cup b \cup c$.