Triangulación de Torus

Question

Se me pidió para averiguar la homología simplicial grupos de la 'toro' $T=S^1\times{}S^1$ incrustado en $R^3$. Me triangula el toro como este :

Aquí el $0$-simplices son $\{v_0\}$. $1$-simplices se $\{a,b,c\}$ e las $2$-simplices se $\{D_1,D_2\}$. Y me enteré de la homología de grupos : $H_0(T)=\mathbb{Z}, H_1(T)=\mathbb{Z}^2,H_2(T)=\mathbb{Z}$

Pero mi maestra me dijo que estaba mal, porque la triangulación no es correcto. Según ella, debería ser:

No entiendo lo que está mal con mi triangulación de los torus $T$. Por favor alguien puede aclarar esto a mí? Gracias! (Excusa el crudo fotos!)

Answer 1

Como dijo @Pece, su cálculo es correcto, porque homología puede calcularse con bastante general tipo de complejos.

Pero parece que su maestro quiere que usted entienda la definición de un complejo simplicial, y es, probablemente, el uso de una definición de una triangulación que se requiere para ser un complejo simplicial.

En un complejo simplicial, cada simplex se requiere para ser incorporados, pero ninguno de sus 1-simplices $a$, $b$, y $c$ están incrustados, porque cada uno tiene sus dos extremos conectados a la misma $0$-simplex $v_0$.

También, la intersección de cualquier par de simplices se requiere para ser un simple, pero su 2-simplices $D_1,D_2$ se cruzan en $a \cup b \cup c$.