¿Por qué es útil utilizar $640320^3 = 8\cdot 100100025\cdot 327843840$ cuando se calcula $\pi$ ?

Question

A Fórmula de tipo Ramanujan debida a los hermanos Chudnovsky utilizado para batir un récord mundial de cálculo del mayor número de dígitos de $\pi$ :

$$\frac{1}{\pi} = \frac{1}{53360 \sqrt{640320}} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(6n)!}{n!^3(3n)!} \times \frac{13591409 + 545140134n}{640320^{3n}} \tag{$ * $}$$ Para las implementaciones, puede ser útil utilizar $640320^3 = 8\cdot 100100025\cdot 327843840$ .

¿Cómo ayuda esto?

Answer 1

Desde entonces: $$327,843,840=2^{15}\cdot(3\cdot5\cdot23\cdot29), \quad 100,100,025= (3\cdot5\cdot23\cdot29)^2$$

Así que para calcular $6403203^{3n}$ Sólo hay que calcular $(3\cdot5\cdot23\cdot29)^{3n}$ y luego usar un desplazamiento de bits.

Answer 2

$$e^{\pi\sqrt{163}}\ \simeq\ 640,320^3+744\qquad\iff\qquad\pi\ \simeq\ \frac{\ln(640,320^3+744)}{\sqrt{163}}$$ Ver Número de Heegner para más detalles. La precisión es $30$ decimales.

Answer 3

Es probable que sea sólo por eficiencia computacional. Algunas ideas totalmente no verificadas:

$327,843,840 = 2^{15} \times 3 \times 5 \times 23 \times 29$ . Esto concentra un montón de desplazamientos a la izquierda (con las potencias de $2$ ).

$100,100,025$ es un cuadrado perfecto y también tiene un montón de ceros en él, lo que hace que sea más rápido multiplicar con una biblioteca de precisión arbitraria (cero por cualquier cosa es cero, después de todo).

Y el $8$ es de tres turnos a la izquierda.