¿En qué se diferencia arbitrario de finito en matemáticas? Una unión arbitraria de subconjuntos y una unión finita de subconjuntos me parecen lo mismo. ¿Es arbitraria una unión infinita de subconjuntos?
Respuestas
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El significado es totalmente diferente. La afirmación "por arbitraria $x$ "significa "para todos $x$ ", mientras que "finito" es un término que puede aplicarse a un conjunto para indicar que su cardinalidad (tamaño) es un número natural.
En concreto, preguntar "¿es $A$ arbitrario" sólo tiene sentido en determinados contextos, en los que se puede estar preguntando si se está demostrando algo para todos los $A$ o sólo para un $A$ .
A veces, la expresión "unión arbitraria" se utiliza como abreviatura de "unión de una colección de cardinalidad arbitraria" por oposición a "unión de una colección finita" o por oposición a "unión de un par" (unión binaria).
sewo
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58
La palabra "arbitrario" no especifica un propiedad de la cosa a la que se aplica. No es más que una forma retórica de llamar la atención sobre el hecho de que lo que se dice es no restringido a cosas con alguna propiedad en particular.
Queda en manos del lector averiguar por el contexto qué es lo que llamas la atención que no se diga, pero no pasa nada, porque la palabra "arbitrario" no tiene ningún efecto formal .
Así que decir que "tal cosa es cierta para los sindicatos arbitrarios" formalmente no significa ni más ni menos que decir que "tal cosa es cierta para los sindicatos", punto.
Cuando decimos "dejemos $A$ sea un widget arbitrario", no estamos diciendo formalmente nada diferente de "que $A$ ser un widget" sólo me aseguro de que el lector avisos que lo único que sabemos $A$ es su widgetness. Podemos seguir con "recuerda que $A$ era arbitraria..." que de nuevo sólo significa "recuerde que no asumimos nada en particular sobre $A$ ".
knatten
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181
Sólo para añadir a lo que Aloizio y Trevor han dicho -
Supongamos que digo $U$ sea un subconjunto arbitrario de la recta real". Entonces $U$ puede ser cualquier cosa . Algunas opciones:
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$U=$ todo real
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$U=$ todos los racionales
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$U=$ todos los irracionales
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$U=$ todos los números mayores que $\sqrt{2}$
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$U=$ todos los números enteros pares
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o quizás $U=$ sólo el conjunto $\{1,2,3,4,19\}$
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o cualquier otra cosa que se te ocurra.
Supongamos que digo $U$ sea un subconjunto finito de la recta real". Eso significa $U$ sólo debe tener un número finito de elementos. De las opciones anteriores, la única que sigue cumpliendo los requisitos es $U=\{1,2,3,4,19\}$ .
failexam
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Arbitrario significa que puedes tener cualquier unión indexada de conjuntos.
Finito significa que sólo se puede tener una unión finita, es decir, sólo se puede tener una unión indexada por un conjunto de igual cardinalidad de $I_n$ donde $I_n:=\{1,...,n\}$
Por ejemplo:
Defina $A_{\alpha}:=[\frac{1}{\alpha}, 1]$ para cada $\alpha \in [1, \infty)$
Puede hacer $\displaystyle \bigcup _{\alpha \in[1,\infty]} A_{\alpha}$ y será un buen ejercicio para usted demostrar que esto es $(0,1]$
