Prueba de la identidad del cálculo vectorial$\nabla\cdot(u\times v)=v\cdot(\nabla\times u)-u\cdot(\nabla\times v)$

Question

ps

¿Cómo podemos probar el componente de identidad del cálculo vectorial anterior?

Answer 1

Usted puede hacerlo de la manera difícil (sentarse y enchufe de dos campos vectoriales, entonces slog a través de los cálculos), o usted puede hacerlo de forma inteligente, es decir, concentrándose en dos casos especiales: (1) $u=(f,0,0)$ $v=(g,0,0)$ y (2) $u=(f,0,0)$$v=(0,g,0)$. Que debe ser bastante fácil.

Ahora note que si usted permutar componentes de forma cíclica, a continuación, los componentes de los productos cruzados y rizos obtener permutada de la misma manera, así que a partir de los dos casos anteriores que han demostrado que la fórmula para todos los campos vectoriales $u$ $v$ tener sólo un valor distinto de cero cada componente.

Por último, tenga en cuenta que cualquier campo vectorial es una suma de tres campos vectoriales del tipo arriba mencionado, y desde el deseado fórmula es aditivo en la $u$ $v$ por separado, ya está hecho.

Answer 2

Alternativamente, puede usar la notación de sufijo :

$$ \begin{align*} \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) &=\partial_i\epsilon_{ijk}u_jv_k \quad\quad\text{definition of Levi-Civita symbol} \\ &=\epsilon_{ijk}\partial_iu_jv_k \quad\quad\text{Levi-Civita symbol is constant} \\ &=\epsilon_{ijk}(v_k\partial_iu_j+u_j\partial_iv_k) \quad\quad\text{derivative of a product} \\ &=\epsilon_{kij}v_k\partial_iu_j-\epsilon_{jik}u_j\partial_iv_k \quad\quad\text{distributivity and property of Levi-Civita symbol} \\ &=v_k\epsilon_{kij}\partial_iu_j-u_j\epsilon_{jik}\partial_iv_k \quad\quad\text{commutativity} \\ &=\mathbf{v}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{u})- \mathbf{u}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v}) \quad\quad\text{definition of Levi-Civita symbol}\end {align *} $$