Cuando los valores propios de $Q^TAQ$ y $A$ ¿coinciden?

Question

Digamos que tengo algunos $n\times n$ matriz $A$ y un $n\times l$ matriz $Q$ cuyas columnas para una base de algún subespacio $\mathcal{L} \subset \mathbb{R^n}$ . Mi intuición me dice que necesitaría $Q$ para ser una base ortogonal completa de $\mathbb{R^n}$ ( es decir $l=n$ ), tal que todos los valores propios $\lambda_i$ de $Q^TAQ$ y $A$ coinciden.

Sin embargo, no veo en qué parte de la prueba de esta última afirmación se necesita la misma dimensionalidad:

• Sea $v\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ un vector propio de A, es decir $Av=\lambda v$ . Entonces $\lambda$ es un valor propio de $Q^TAQ$ con el vector propio $Q^Tv$ : $$ (Q^TAQ)(Q^Tv)=Q'A(QQ^T)v=Q^TAv=\lambda(Q^Tv). $$
• Sea $v\in\mathcal{L}\setminus\{0\}$ un vector propio de (Q^TAQ), es decir $(Q^TAQ)v=\lambda v$ . Entonces $\lambda$ es un valor propio de $A$ con el vector propio $Qv$ : $$ A(Qv)=IAQv=QQ^TAQv=Q(Q^TAQv)=\lambda(Qv). $$

Tal vez puedan ayudarme en este sentido. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

En caso de que Q forme una ortonormal base de $\mathcal{L}$ , usted tiene $Q^TQ = I$ pero siempre y cuando $l<n$ , $QQ^T \neq I$ . En particular, $QQ^T$ es la proyección ortogonal sobre el subespacio abarcado por las columnas de $Q$ .