Entender una definición de radiales

Question

Un espacio$X$ se llama radial si, para cualquier$A \subset X$ y cualquier$x \in cl(A)$, hay una secuencia transfinita$s=\{a_\alpha: \alpha \in \kappa\} \subset A$ que converge a$x$. ¿Qué significa "secuencia transfinita" aquí?

Agregado: ¿ Si puedo preguntar más, cuál es la diferencia entre el espacio del redial y el espacio de Frechet? Parece que son iguales.

Answer 1

Presumiblemente, esta es una secuencia indexado por algunos número ordinal. Para ser precisos, un número ordinal $\kappa$ (que en el estándar de la construcción se identifica con el conjunto de todos los ordinales menos de $\kappa$) puede ser dado la orden de topología, y un transfinito secuencia indexados por $\kappa$, en un espacio de $X$ es sólo un mapa continuo $\kappa \to X$.

Una secuencia indexado por un ordinal finito $n$ es sólo un $n$-tupla de puntos. Ordinario de las secuencias son indexados por el ordinal $\omega$. Una secuencia indexados por $\omega + 1$ es una corriente de secuencia con un punto límite. Y así sucesivamente.

A pesar de que nunca he visto esta definición antes, esto es lo que me imagino es el razonamiento detrás de él. Estamos acostumbrados a hablar sobre topológico condiciones como cierre, de convergencia, y así sucesivamente en términos de secuencias, y en espacios métricos o más generalmente, el primer contables espacios, esto es todo lo que necesitamos. En 'grandes' de los espacios, la topología del espacio no es realmente capturada por el simple contable de conjuntos de puntos, así que tenemos que reemplazar la noción familiar de 'secuencia' con algo más general. Esta resulta ser una cosa que se llama una red, que es una secuencia indexado por un conjunto dirigido. Así, mientras que no es cierto en general que cada punto límite de un conjunto en un espacio topológico es un límite de una secuencia en la que se establezca, es cierto que es el límite de una red en conjunto.

Ahora, dirigida conjuntos parcialmente ordenados, así que ocuparse de las redes podría terminar siendo demasiado general. En un espacio radial, usted sólo tendrá que lidiar con las redes indexado por el bien de conjuntos ordenados, es decir, con transfinito secuencias indexados por los números ordinales.

Answer 2

Como Pablo VanKoughnett ha señalado en su respuesta, un transfinito secuencia va a ser cualquier secuencia de función/ $\langle x_\xi \rangle_{\xi < \alpha}$ donde $\alpha$ es un ordinal. Recordemos que los números ordinales son espacios topológicos bajo el orden habitual de la topología, y en esencia, si $\langle x_\xi \rangle_{\xi < \alpha}$ converge a algún punto de $x$, esto es equivalente a la $(\alpha+1)$-secuencia obtenida añadiendo $x$ a finales de $\langle x_\xi \rangle_{\xi < \alpha}$ continua en $\alpha$. (Por supuesto, el $\alpha$-secuencia puede no ser continua en el límite de los números ordinales $< \alpha$.)

Supongo que el ejemplo prototípico radial de un no-espacio de Fréchet sería el ordinal espacio de $\omega_1 + 1$. Aquí $\omega_1 \in \overline{ [ 0 , \omega_1 ) }$, sin embargo no hay ninguna ($\omega$- ), la secuencia en $[0 , \omega_1 )$ convergentes a $\omega_1$ (desde $\omega_1$ tiene innumerables cofinality). Sin embargo, hay una perfectamente buena $\omega_1$-sucesión convergente a $\omega_1$: $x_\xi = \xi$ para todos los $\xi < \omega_1$.

Answer 3

Una secuencia general$x_1, x_2, ...$ es indexada por los números naturales. Si permitimos que nuestro conjunto de indexación cambie a algo más grande , como los reales, entonces obtendrá una secuencia transfinita.

Así que en su pregunta,$\kappa$ es un conjunto de indexación general como los reales o los complejos, o tal vez algo más grande todavía, y la secuencia es sólo una colección de elementos que están indexados por$\kappa$.