Ecuación del plano

Question

He estado trabajando a través de todos los problemas en mi libro de texto y por fin he conseguido a una difícil. El problema de pedir

Encontrar la ecuación del plano.El plano que pasa por los puntos a $(-1,2,1)$ y contiene a la recta de intersección de los planos $x+y-z =2$ $2x-y+3z=1$

Hasta ahora he encontrado el vector de dirección de la línea de intersección de a $<1,-2,1>$, y han identificado un punto sobre esta línea al$x=0$$(0,5,-1)$.

No sé cómo encontrar el plano deseado desde aquí.

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

El siguiente determinante es otra forma de lo que Scott observó: $$ \begin{vmatrix} (x-x_0)& (y-y_0)& (z-z_0)\\1& 1& -1\\2& -1& 3 \end {vmatrix} $$

Answer 2

Para encontrar un plano en el espacio, se necesita un vector de dirección normal (A, B, C) y un punto. La ecuación es$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0)=0$. En su caso, que es$A(x+1)+B(y-2)+C(z-1)=0.$ Ahora tome el producto cruzado de las normales a sus otros planos$(1,1,-1)\times(2,-1,3)$ para obtener un vector que es perpendicular a la línea de intersección.

Answer 3

Aquí hay un problema relacionado . Para encontrar la ecuación del plano, necesita tres puntos que se encuentran en el plano. Ya tienes uno, puedes obtener los otros dos de la ecuación de la línea, ya que la línea se encuentra en el plano. Una vez que tenga los tres puntos, construya dos vectores diga$v_1$ y$v_2$ y encuentre el producto cruzado$n=v_1 \times v_2$. Entonces, la ecuación del plano viene dada por

ps