Definimos una valoración en el campo del número racional$\mathbb Q$ como sigue. Por ejemplo, si elegimos un número primo$2$ entonces para$x \neq 0\in \mathbb Q$,$v(x) = v(2^{n}a/b)= n$ donde$n$ es un número entero y$a$ y% #% entero. Tengo una pregunta, ¿cómo extendemos esta valoración explícitamente sobre el campo$b$. Gracias
Respuesta
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El anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$ está dado por $\mathbb{Z}[\sqrt 2]$. Las valoraciones de $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$ extender $v$ puede ser deducido a partir de la primer ideal de la factorización de $(2)$ en el ring $\mathbb{Z}[\sqrt 2]$. Más precisamente hemos $$ (2) = \mathfrak p^2 $$ con $\mathfrak p = (\sqrt 2)$ un primer ideal de $\mathbb{Z}[\sqrt 2]$. Dado $x \in \mathbb{Z}[\sqrt 2]$ denotar por $v_\mathfrak p(x)$ el entero $n$ tal que $x \in \mathfrak p^n$$x \notin \mathfrak p^{n+1}$. Para arbitrario $\frac{x}{y} \in \mathbb Q(\sqrt 2)$$x,y \in \mathbb Z[\sqrt 2]$$v_\mathfrak p(\frac x y) = v_\mathfrak p(x) - v_\mathfrak p(y)$. Una valoración $w$ $\mathbb Q(\sqrt 2)$ extender $v$ es el dado por $w(x) = \frac{v_\mathfrak p(x)}{2}$ ($2$ en el denominador de ser la inercia grado de $\mathfrak p$$2$). Espero que esto sea de forma explícita suficiente.
