Cubriendo $\mathbb R^2$ con la función de gráficos

Question

Supongamos que tenemos una contables de la familia de la función de gráficos (cada función es $\mathbb R\to\mathbb R$, no es necesario continuo). Obviamente, ellos no pueden cubrir todo el avión $\mathbb R^2$, debido a que ni siquiera pueden cubrir la cada de una cantidad no numerable de puntos en una sola línea vertical.

Pero supongamos ahora que se nos permite rotar cada gráfico de la familia arbitraria ángulo alrededor de un punto arbitrario del plano (el número total de gráficos es todavía contables). Es posible cubrir todo el avión $\mathbb R^2$ en este caso?

Answer 1

Usted puede construir sólo una función de $f: R \rightarrow R$ tal que countably muchas rotaciones de la gráfica de $f$ cubrir el plano. Esto es debido a la R. O. Davies. Ver teorema 31 y el comentario de abajo que en la de Arnie notas que tiene muchos otros resultados interesantes (sin pruebas) acerca de la teoría de conjuntos de plano.

Answer 2

La idea no funciona por debajo de: escribí "vacío interior" cuando me refería a "la nada denso". Pero los gráficos no deben ser nada densa.

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No podemos cubrir el plano de esta manera. La razón es que la gráfica de cualquier $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ha vacío interior (como un subconjunto del plano), ya que cada línea vertical que reúne $f$ en más de un punto. Teniendo vacío interior no se ve afectado por las rotaciones. La categoría de Baire teorema nos da ese $\mathbb R^2$ no es un contable de la unión de conjuntos con vacío interior, y esto concluye la prueba.