Es bastante normal que el summatory función de una manera irregular comportarse función es más bien regular, ya que la suma cancela desviaciones de la media en el comportamiento. La irregularidad de $\rho$ es bastante benigno, ya que para cada entero $m \geqslant 1$, se obtiene una línea recta
$$\rho(n) = \rho(m) + \frac{n}{m}$$
a partir de los números de $n = m\cdot p$ donde $p$ es un primer no dividiendo $m$. Dado que casi todos los números tienen pocos factores primos, sólo una fracción insignificante de $n \leqslant x$ ha $\rho(n)$ no mentir en una de las primeras líneas (donde los "primeros" de curso depende del $x$).
Para determinar el comportamiento asintótico de $\Phi$, es útil para escribir
$$\Phi(x) = \sum_{p \leqslant x} F(p,x)\cdot p,$$
donde la suma es sobre los números primos que no exceda $x$, e $F(p,x)$ cuenta con qué frecuencia $p$ se produce en la suma definición de $\Phi$. Considerando una prima fija $p$, observamos que $p$ se produce en el sumando $\rho(n)$ si y sólo si $p\mid n$. Hay $\bigl\lfloor \frac{x}{p}\bigr\rfloor$ múltiplos de $p$ que no exceda de $x$. $p$ ocurre al menos dos veces en $\rho(n)$ si y sólo si $p^2 \mid n$. Y así sucesivamente, $p$ se produce, al menos, $k$ veces $\rho(n)$ si y sólo si $p^k\mid n$. Que puede ser familiar de contar el número de veces $p$ se produce en la factorización de $\lfloor x\rfloor!$, y, de hecho, $F(p,x)$ es que el mismo número, es decir,
$$F(p,x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \biggl\lfloor \frac{x}{p^k}\biggr\rfloor.$$
La suma contiene sólo un número finito distinto de cero, naturalmente.
Tenemos una cota superior $F(p,x) < \frac{x}{p-1}$ desde ignorando la $\lfloor\,\cdot\,\rfloor$, y por lo tanto un límite superior
$$\Phi(x) \leqslant \sum_{p \leqslant x} \frac{x}{p-1}\cdot p = x\cdot \pi(x) + x\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p-1}.\tag{1}$$
Por Mertens, teorema de,
$$\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p-1} = \sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p} + \sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p(p-1)} = \log \log x + O(1),$$
así que el segundo término de la derecha de $(1)$ es insignificante en comparación con el error cometido al aproximar $\pi(x)$ $\frac{x}{\log x}$ o $\operatorname{Li}(x)$. Tenemos $\Phi(x) \in O\bigl(\frac{x^2}{\log x}\bigr)$, y el límite inferior dado por Ahmad muestra $\Phi(x) \in \Theta\bigl(\frac{x^2}{\log x}\bigr)$, y sólo tenemos un factor de incertidumbre de $2$ para el coeficiente.
Tomamos nota de que
$$\Phi(x) - \sum_{p \leqslant x} \biggl\lfloor \frac{x}{p}\biggr\rfloor \cdot p$$
es insignificante en comparación con el líder plazo, ya que
$$\sum_{p \leqslant x} \sum_{k = 2}^{\infty} \biggl\lfloor \frac{x}{p^k}\biggr\rfloor\cdot p \leqslant \sum_{p \leqslant x} \frac{x}{p-1} \in O(x\log \log x).$$
Para un análisis más preciso de la dominante plazo, vamos a
$$S(y) := \sum_{p \leqslant y} p.$$
Desde el primer número teorema con el error de límites, uno encuentra $S(y) = \operatorname{Li}(y^2) + O\bigl(y^2e^{-c\sqrt{\log y}}\bigr)$ con $c > 0$ a través de la suma por partes. Otra suma por partes da
\begin{align}
\sum_{p \leqslant x} \biggl\lfloor \frac{x}{p}\biggr\rfloor \cdot p
&= \sum_{m \leqslant x} \sum_{\frac{x}{m+1} < p \leqslant \frac{x}{m}} m\cdot p \\
&= \sum_{m \leqslant x} m\biggl(S\biggl(\frac{x}{m}\biggr) - S\biggl(\frac{x}{m+1}\biggr)\biggr) \\
&= \sum_{m \leqslant x} S\biggl(\frac{x}{m}\biggr).
\end{align}
Deje $\alpha \in (0,1)$. La estimación trivial $S(y) < y^2$ todos los $y \geqslant 1$ da
$$\sum_{x^{\alpha} < m \leqslant x} S\biggl(\frac{x}{m}\biggr) < x^2 \sum_{m > x^{\alpha}} \frac{1}{m^2} \sim x^{2-\alpha},$$
por lo que estos términos no contribuyen a las principales comportamiento asintótico. Tampoco la suma de los $O\bigl(y^2 e^{-c\sqrt{\log y}}\bigr)$ términos de error, ya que $\log (x/m) \geqslant (1-\alpha)\log x$$m \leqslant x^{\alpha}$, por lo que
$$\sum_{m \leqslant x^{\alpha}} O\biggl(\frac{x^2}{m^2} e^{-c\sqrt{\log (x/m)}}\biggr) \leqslant K x^2 e^{-c\sqrt{1-\alpha}\sqrt{\log x}}\sum_{m \leqslant x^{\alpha}} \frac{1}{m^2} \in O\bigl(x^2e^{-d\sqrt{\log x}}\bigr)$$
con $d = c\sqrt{1-\alpha} > 0$. Por lo tanto, tenemos que mirar a
$$\sum_{m \leqslant x^{\alpha}} \operatorname{Li}\biggl(\frac{x^2}{m^2}\biggr).$$
Con $\operatorname{Li}(y) = \frac{y}{\log y} + O\bigl(\frac{y}{(\log y)^2}\bigr)$, vemos
$$\sum_{m \leqslant x^{\alpha}} \operatorname{Li}\biggl(\frac{x^2}{m^2}\biggr) = \sum_{m \leqslant x^{\alpha}} \frac{x^2}{2m^2\log (x/m)} + O\biggl(\frac{x^2}{(\log x)^2}\biggr),$$
y
$$\sum_{m \leqslant x^{\alpha}} \frac{x^2}{2m^2\log (x/m)} \sim \sum_{m} \frac{x^2}{2m^2\log x} = \frac{\pi^2}{12} \cdot \frac{x^2}{\log x}\tag{$\ast$}$$
a continuación se muestra
$$\Phi(x) \sim \frac{\pi^2}{12}\cdot \frac{x^2}{\log x}.\tag{2}$$
Para ver la equivalencia asintótica en $(\ast)$, dividir la suma de $m \approx \log x$.
