Si uno piensa en $SO(3)$ de las rotaciones en el espacio tridimensional, entonces el $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$ subgrupo está dado por las rotaciones de 180 grados a lo largo de tres ejes perpendiculares (que de hecho no conmutan).
En un nivel matemático esto sólo parece-al menos a primera vista-uno de los muchos subgrupos finitos de $SO(3)$. Sin embargo, yo soy un físico, y de ahí que esta subgrupo juega un papel importante. En particular, los físicos están interesados en el hecho de que $H^2_\textrm{group}(SO(3);U(1)) \cong H^2_\textrm{group}(\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2; U(1))$, es decir, si uno está interesado en las distintas clases de representaciones proyectivas de $SO(3)$, es suficiente para centrarse en $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2 \subset SO(3)$. (Esto se relaciona en algo que los físicos llaman topológico fases de la materia; de hecho, esta pieza en particular de la matemática es relevante para el reciente premio Nobel.) Así que al menos desde este punto de vista, $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$ puede ser visto como una especie de "esqueleto" de $SO(3)$ (en términos puramente lenguaje figurado).
Así que me preguntaba: ¿hay algo matemáticamente significativo sobre el $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ subgrupo de $SO(3)$? I. e. hay algunos naturales de la caracterización que la define como un subgrupo, que conduce a una noción que se aplica a la más general de los grupos? (O es el hecho de que es el mismo [segundo] grupo cohomology simplemente un poco interesante y limitada curiosidad?) Es su relación con los generadores de $SO(3)$ de particular importancia?
