¿Es la prueba de $\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1$ en algunos libros de texto de secundaria circular?

Question

Me enseñaron la siguiente prueba en la escuela secundaria.

Mediante la construcción de triángulos con $0<\theta<\pi/2$ y un círculo con un radio de $r$ y mediante la comparación de la áreas, tenemos $$\frac{1}{2}r^2\sin\theta\cos\theta \le \frac{1}{2}r^2\theta\le\frac{1}{2}r^2\tan\theta$$ Por lo tanto $$\cos\theta\le\frac{\theta}{\sin\theta}\le\frac{1}{\cos\theta}$$ Entonces por el teorema del sándwich, tenemos el resultado.

Mi pregunta es, en el mediano plazo en la desigualdad anterior proviene del hecho de que el área del círculo es $\pi r^2$, que en mis libros de texto, posteriormente se demostró por la integración. Pero la integración requiere que los resultados de cálculo que viene del hecho de que $$\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$$

Answer 1

Habitual de las pruebas puede ser circular, pero hay una manera sencilla para demostrar dicha desigualdad.

Deje $\theta$ ser un ángulo agudo y deje $O,A,B,C,D,C'$ como en el siguiente diagrama:

Podemos demostrar que:

$$ CD \stackrel{(1)}{ \geq }\;\stackrel{\large\frown}{CB}\; \stackrel{(2)}{\geq } CB\;\stackrel{(3)}{\geq} AB $$

$(1)$: El cuadrilátero $OCDC'$ y el círculo sector delimitado por $O,C,C'$ son dos conjuntos convexos. Desde el círculo del sector es un subconjunto del cuadrilátero, el perímetro del círculo del sector es menor que el perímetro del cuadrilátero.

$(2)$ : $CB$ segmento es el camino más corto entre el$B$$C$.

$(3)$ $CAB$ es un triángulo rectángulo, por lo tanto $CB\geq AB$ por el teorema de Pitágoras.

En términos de $\theta$ obtenemos: $$ \tan\theta \geq \theta \geq 2\sin\frac{\theta}{2} \geq \sin\theta $$ para cualquier $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$. Dado que las funciones son funciones impares el reverso de la desigualdad tiene sobre $\left(-\frac{\pi}{2},0\right)]$, e $\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$ sigue apretando.

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Un enfoque ligeramente diferente podría ser el siguiente: supongamos $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$. Por $(2)$ $(3)$ hemos $$ \theta \geq 2\sin\frac{\theta}{2}\geq \sin\theta $$ por lo tanto la secuencia de $\{a_n\}_{n\geq 0}$ definido por $a_n = 2^n \sin\frac{\theta}{2^n}$ es creciente y acotada por $\theta$. Cualquier creciente y acotada de la secuencia es convergente, y de hecho tenemos $\lim_{n\to +\infty}a_n=\theta$ desde $\stackrel{\large\frown}{BC}$ es un subsanables en la curva de y para cada $n\geq 1$ $a_n$ plazo es la longitud de la poligonal aproximación de $\stackrel{\large\frown}{BC}$ a través de $2^{n-1}$ segmentos iguales. En particular

$$ \forall \theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), \qquad \lim_{n\to +\infty}\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right)}{\frac{\theta}{2^n}} = 1 $$ y esto garantiza que si el límite de $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ existe, es $1$. Por $\sin x\leq x$ obtenemos $\limsup_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\leq 1$, por lo que es suficiente para demostrar que $\liminf_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\geq 1$. Ya sabemos que para cualquier $x$ lo suficientemente cerca como para el origen de la secuencia de $\frac{\sin x}{x},\frac{\sin(x/2)}{x/2},\frac{\sin(x/4)}{x/4},\ldots$ es convergente a $1$, por lo que estamos por hacer.

Larga historia corta: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ se deduce del hecho de que un círculo es un subsanables en la curva, y un círculo es un subsanables en la curva porque es el límite de una convexa, limitado subconjunto de $\mathbb{R}^2$. La convexidad de la disco se sigue de la desigualdad de triángulo: un disco es un cerrado de bolas para la distancia euclidiana.

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$(1)$ se basa en esta poderosa Lema:

Lema. Si $A,B$ es convexo acotado establece en $\mathbb{R}^2$$A\subsetneq B$, el perímetro de $A$ es menor que el perímetro de $B$.

Prueba: por el acotamiento y convexidad, $\partial A$ $\partial B$ son subsanables, con longitudes $L(A)=\mu(\partial A),\,L(B)=\mu(\partial B)$. Siempre por convexidad, hay algunos acordes en $B$ que no cumple el interior de $A$ (tangente a $\partial A$ a un punto suave hace el trabajo, por ejemplo). Asumir que dicha acorde tiene extremos $B_1, B_2 \in \partial B$ y realizar un corte a lo largo de $B_1 B_2$: tanto en el área y el perímetro de $B$ de disminución, sino $B$ sigue siendo un almacén de conjunto convexo adjuntando $A$. Desde $A$ puede ser aproximado a través de una secuencia de sucesivos recortes, $L(A)<L(B)$ sigue.

Answer 2

Nota: Intercaladas en el siguiente comentario en una fuente más pequeña de tipo de un matemático que piensa que soy quitar importancia a los detalles y/o el empleo de razonamiento circular. La respuesta ha evolucionado y los comentarios son ahora 'rancio', pero son sin duda interesantes y didácticos.

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Voy a seguir donde Arnaldo dejó, directamente demostrando que el límite existe el uso de Arquímedes definición de la circunferencia de un círculo; la lógica de la siguiente manera a partir de primeros principios, por lo que la mejor y más divertida manera de seguir esto es para olvidar todo lo que sabemos.

Tenemos $\; \sin \theta \le EC\le \tan \theta$ y dividiendo por $\sin \theta$,
.

$ 1\le \frac{EC}{\sin \theta}\le \frac{1}{\cos \theta}\;\;\;\;\;$ (1)

La siguiente información puede ser verificada sin conocer el área de un círculo:

Proposición 1: Tanto en $sin(x)$ $cos(x)$ son continuas en a $0$.

Sabemos que, en virtud de la continuidad de los supuestos y definidos cantidades, que el límite de un cociente es el cociente de la límites ^{(Esto no es cierto, como en el caso de $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(x)}=2\neq\frac{0}{0}$)}, pero también tenemos los siguientes:

Proposición 2: Deje $f(x)$ $g(x)$ ser definida en un abierto barrio contengan $0$ $g(x)$ continua en $0$. Si

$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=L$

a continuación, $f(x)$ es continua en a $0$. ^{Sólo si $g(x)$ queda lejos de la $0$ en un barrio de $0$}

La longitud de la cuerda $EC$ es una función de $\theta$. La aplicación de la Proposición 1 y el apriete principio vemos que

$\lim_{\theta \to 0}\, \frac{EC}{\sin \theta} = 1\;\;\;\;$ (2)

Por la Proposición 2, CE es continua en a $0$.

Ahora recuerdo que la circunferencia del círculo es un obtenidas por la inscripción de polígonos regulares dentro de un círculo, calcular el perímetro de los polígonos, y luego tomar el límite (Arquímedes). Pero cada lado del polígono tiene una longitud de $EC$ para una elección adecuada de $\theta$.

Puede ser útil para proporcionar una imagen, ya que los lectores no familiarizados con esto podría saltar a conclusiones. Así que si $\theta = \pi /4$, se puede inscribir en un $2^3 = 8$ pentágono regular en el círculo. La circunferencia se calcula a $2^3$ veces la longitud de la CE. La CE está subrayado en rojo.

Siguiente Arquímedes, se define la circunferencia del círculo unitario como $2^n Length(EC)$ $n$ va al infinito. Pero, de nuevo, con respecto a la longitud de $EC$ como una función de la $\theta$, esto puede ser escrito como $2^n EC(\frac{2 \pi}{2^n}) \approx 2 \pi $. Reordenando términos,

$\lim_{n \to \infty}\, \frac{\frac{2 \pi}{2^n}}{EC(\frac{2 \pi}{2^n})} = 1\;\;\;\;$ (3)

Aviso que no tenemos explícitamente calcular la longitud de $EC$ cualquier $\theta$ - (3) es cierto que desde $EC$ está inextricablemente ligada a la de Arquímedes círculo de la circunferencia de cálculo de la técnica.

^{pero desde $EC(\theta)=2\sin\frac{\theta}{2}$, sólo estamos diciendo que $\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right)\sim\frac{\theta}{2^n}$$\theta\to 0$, que es el reclamo queremos demostrar con un menor de sustitución. Así que vamos a suponer que el reclamo para demostrarlo. Justo lo suficiente: verdadero, pero el sombrero de punta, por tanto, verdadera.}

Dado que tanto $\theta$ (la función identidad) y $EC(\theta)$ son continuas en a $0$ ^{(pero no lo hemos probado que $\text{sinc}(\theta)$ es continua en un barrio de cero}), esto también puede ser escrito como

$\lim_{\theta \to 0}\, \, \frac{\theta}{EC} = 1$

Pero esto significa que puede sustituir a $EC$ (2) por $\theta$, y la inversión,

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1\;\;\;\;\;$ (4)

Conclusión: creo que deberíamos dar a Arquímedes crédito por (4). Es en realidad sólo se cae de su circunferencia cálculos.

Más rápido de la Prueba (Adecuado para la Escuela secundaria Libros de texto): Desde $EC(\theta)=2\sin\frac{\theta}{2}$, podemos reescribir (3) como

$\lim_{n \to \infty}\, \frac{\frac{2 \pi}{2^n}}{EC(\frac{2 \pi}{2^n})} = \frac{\frac{2 \pi}{2^n}} {2\sin\frac{\frac{2 \pi}{2^n}}{2} }=\frac{\frac{2 \pi}{2^{n+1}}} {\sin \frac{2 \pi}{2^{n+1}} }=1\;\;\;\;$

Así que la única geométricas análisis requerido es interpretar/formular el Arquímedes de la construcción.

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_{Propuesta de revisión: es fácil demostrar que para cualquier ángulo agudo $\theta$ la secuencia definida por $a_n = 2^n\sin\frac{\theta}{2^n}$ es creciente y acotada por $\theta$, por lo tanto convergente. Convergente a $\theta$ desde $a_n$ da la longitud de la poligonal de la aproximación de un arco de círculo, que es una subsanables en la curva con una longitud de $\theta$. Ya que esto demuestra $$ \lim_{n\to +\infty}2^n \sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) = \theta $$ por el seno de la multiplicación de las fórmulas obtenemos que cada vez que $\{d_n\}_{n\geq 1}$ es una secuencia de diádica racionales convergente a cero, $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{\sin(\theta d_n)}{\theta d_n} = 1. $$ La continuidad y la impar-dad de la función seno, junto con la densidad de diádica racionales por lo tanto resulta $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$ como quería.}

Answer 3

Un Comentario en la geometría:

Por el hecho de que una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, puedo ver por qué $\sin(\theta) \le \theta$.

Pero, teniendo en cuenta que el arco es curvo, no veo cómo podemos deducir del dibujo que $\theta \le \tan(\theta)$. ¿Cómo sabemos que el arco no mueva lo suficiente para que ocurra la desigualdad contraria?

Answer 4

Esto ha sido discutido anteriormente y voy a publicar el enlace, si lo encuentro. Para simplificar la prueba de que podemos trabajar con el círculo de radio de la unidad. Y en lugar de lidiar con longitudes de arco nos ocupamos de área de sectores. Esto evita el problema de tratar con la comparación de longitudes de arco que requiere nociones de convexidad de las curvas (como el hecho de que Jack d'Aurizio responde aquí).

El siguiente teorema se tiene:

Si $L$ es la longitud de un arco de círculo unidad y $A$ el área de sector correspondiente, a continuación,$L=2A$.

La prueba de la siguiente manera , no a través de la utilización de funciones circulares como muchos creen , sino simplemente a través de la integración por partes. Tenga en cuenta que tenemos $$\int_{a} ^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx=-\frac{a\sqrt{1-a^{2}}}{2}+\frac{1}{2}\int_{a}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$ or $$\int_{a}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=2\left(\frac{a\sqrt{1-a^{2}}}{2}+\int_{a}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx\right)$$ which is the desired relation $L=2A$ for an arc with end points $(1,0)$ and $(un, \sqrt{1-un^{2}})$ (with $un\en(0,1)$) of the unit circle. Once we have this relation we immediately get the following inequality (as mentioned in question) via comparison of areas: $$\sin\theta<\theta<\tan\theta$$ for all $\theta\en(0,\pi/2)$.

Answer 5

Sugerencia

Para un alto nivel de la escuela puede utilizar la longitud del arco.

$$\sin \theta \le\theta\le \tan \theta\to 1\le \frac{\theta}{\sin \theta}\le \frac{1}{\cos \theta}$$

En fin, podemos utilizar un saber resultado de la Geometría Euclidiana:

Teorema: En un triángulo el ángulo más grande es siempre apropiado a la cara grande.

Así, desde la derecha, triángulo $ACE$ tenemos

$$\sin \theta \le EC$$

y desde el triángulo obtuso $EFC$ tenemos

$$EC\le \tan \theta$$

y, a continuación,

$$\sin \theta \le EC\le \tan \theta$$

al $\theta $ es muy pequeña, nos ha $EC \approx \theta$.