¿Esto es una elipse?

Question

¿Esta parametrización es una elipse: \begin {alinear}x(t) &= \frac {2 \cos (t)}{1 + a \sin (t)} \\ y(t) &= \frac {2 \sin (t)}{1 + a \sin (t)} \end {alinear} donde $a$ es un verdadero parámetro positivo.

Traté de hacerlo de manera ingenua pero no pude encontrar una respuesta definitiva.

Trazando nuestra curva con la ayuda de Geogebra se obtiene el siguiente gráfico muy elíptico:

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Es fácil ver que

$$x^2+y^2={4 \cos ^2t \over (1+a \sin t)^2}+{4 \sin ^2t \over (1+a \sin t)^2}={4 \over (1+a \sin t)^2}$$

(como encontró Bacon). Pero también

$$y={2 \sin t \over1 +a \sin t} \implies ay={2a \sin t \over1 +a \sin t}={2(1+a \sin t)-2 \over1 +a \sin t}=2-{2 \over1 +a \sin t}$$

y así

$${2 \over1 +a \sin t}=2-ay$$

por lo tanto

$$x^2+y^2=(2-ay)^2=4-4ay+a^2y^2$$

o

$$x^2+(1-a^2)y^2+4ay=4$$

Como señala lhf, esta es una ecuación para una elipse, parábola o hipérbola dependiendo del signo de $a^2-1$ .

Answer 2

Preguntando a WA,+y+%3D+2sin(t)%2F(1%2Ba+sin(t))%7D,t%5D) para eliminar $t$ da $a^2 y^2 - 4 a y - y^2 + 4 = x^2$ . Por lo tanto, tenemos

• una elipse si $a^2-1<0$

• una parábola si $a^2-1=0$

• una hipérbola $a^2-1>0$

Answer 3

$$ \begin {align} x&= \frac {2 \cos t}{1+a \sin t} \tag {1} \\ y&= \frac {2 \sin t}{1+a \sin t} \tag {2} \\ (2)/(1): \hspace {3cm} \\ \frac yx&= \tan t \tag {3} \\ (1)^2+(2)^2: \hspace {3cm} \\ x^2+y^2&= \frac 4{(1+a \sin t)^2} \\ &= \frac {4(x^2+y^2)}{ \big ( \sqrt {x^2+y^2}+ay \big )^2} && \scriptsize \bigg ( \sin t= \frac y{ \sqrt {x^2+y^2}} \bigg ) \\ (x^2+y^2) \big [ \big ( \sqrt {x^2+y^2}+ay \big )^2-4 \big ]&=0 \\ \because {x^2+y^2} \neq 0 \therefore \qquad \big ( \sqrt {x^2+y^2}+ay \big )^2-4&=0 \\ x^2+y^2&=( \pm2 -ay)^2 \\ \color {red}{x^2+(1-a^2)y^2 \pm 4ay-4}& \color {red}{=0} \end {align}$$ que es una elipse si $a^2<1$ por los criterios esbozados aquí .

Answer 4

$$x^2 + y^2 = \frac {4}{(1+a \sin t)^2}$$

Ahora sustituye a $ \sin t$ y poner límites a $a$ para encontrar correctamente la ecuación cartesiana de una elipse.

Answer 5

Renombrando $t$ como $ \theta $ tienes una ecuación polar:

$$ \rho = \frac2 {1+a \sin\theta }.$$

Esta es la forma polar de la ecuación de una cónica con un foco en el origen. https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Polar_form_relative_to_focus

Si $|a|<1$ el denominador no tiene raíz, por lo que la curva está limitada.

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Reescribiendo

$$ \rho +ay=2$$ usted establece

$$x^2+y^2=(2-ay)^2.$$

Esta cónica es una elipse cuando el discriminante de los términos cuadráticos $x^2+(1-a^2)y^2$ es negativo, es decir, cuando $|a|<1$ .