Un cociente mapa de $[0,1]$ $S^1$

Question

Me gustaría mostrar que la función de $f(x) = (\textrm{cos}2 \pi x, \textrm{sin}2 \pi x)$ es un cociente mapa; ya he demostrado que es surjective y continua (el último, por la invocación de la característica universal de funciones en un producto de topología (estoy pensando en $S^1$ como un subespacio de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$)). Sin embargo, estoy atascado tratando de demostrar la condición final para $f$ a ser un cociente de mapa. Aquí está mi trabajo hasta el momento:

Deje $U \subset S^1$. Supongamos $f^{-1}[U]$ está abierto en $[0,1]$. A continuación, tenemos que mostrar que $U$ está abierto en $S^1$. Deje $\bar{y} \in U$; $\bar{y} = (1,0)$ o $\bar{y} \neq (1,0)$. Si $\bar{y} = (1,0)$,, a continuación, mediante la apertura de $f^{-1}[U]$, podemos deducir que no existe $\epsilon, \epsilon' \in \mathbb{R}_{> 0}$ tal que $[0,\epsilon) \cup (\epsilon',1] \subset f^{-1}[U]$ (desde $f^{-1}[\{ (1,0) \}] = \{0, 1 \}$). Del mismo modo, si $\bar{y} \neq (1,0)$, $\delta, \delta'\in \mathbb{R}_{> 0}$ tal que $(\delta,\delta') \subset f^{-1}[U]$. Por supuesto, estos conjuntos, $[0,\epsilon) \cup (\epsilon',1]$ $(\delta,\delta')$ están abiertas en $[0,1]$.

¿Cómo puedo (o puedo) proceder de aquí para mostrar que $U$ está abierto en $S^1$? Por otro lado, también me gustaría escuchar de algunos más general de métodos para mostrar que la función que es un cociente de mapa (tal vez ciertos teoremas o algo). Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Tal vez aquí es un método general:

Tenga en cuenta que $[0,1]$ es compacto y $S^1$ es de Hausdorff. Así que, en realidad, su función es cerrado mapa. Por lo tanto, su función que es un cociente de mapa.

Editar:

Deje $f:X\to Y$ ser una función continua donde $X$ es compacto y $Y$ es de Hausdorff. A continuación, $f$ es un cerrado mapa.

Prueba:

Elegir un conjunto cerrado $U$$X$. Desde $X$ es compacto, $U$ es compacto. Por lo tanto, $f(X)$ es compacto. Desde $Y$ es Hausdorff, $f(X)$ es cerrado.

Answer 2

Usted puede utilizar el hecho de que un mapa de $q:X\rightarrow Y$ es un cociente de mapa, si es continua, y si se envía saturada open ajusta a la saturada de bloques abiertos; un subconjunto está saturado si (def.) que contiene cada fibra {$f^{-1}(y)$} que se cruza.

Answer 3

Fijar un conjunto $U\subset S^1$ tal que $f^{-1}(U)$ está abierto, y un punto de $z \in U$. Supongamos $z$ positivos segunda coordenada por el momento. Entonces existe un único punto en $f^{-1}(z)$, lo que vamos a llamar a $x$, y por la apertura de $f^{-1}(U)$, un intervalo de $I=(x-\epsilon, x+\epsilon)\subseteq f^{-1}(U)\cap (0,1/2)$. Considere la posibilidad de $f$ restringido a $[x-{\epsilon}/2, x+{\epsilon}/2]$. La función de $\cos(2\pi x)$ tiene un mínimo y un máximo en este intervalo, como es cerrado y acotado. De hecho, por las propiedades de las $I$ arriba, no hay puntos críticos en el intervalo por lo que el min y max deben producirse en el límite. Vamos a llamar a la min y max $x_0$$x_1$. Escribir $z=(z_0, z_1)$. Pretendemos que, $V=S^1 \cap [(x_0, x_1)\times (0, z_1+1)]$ es un conjunto abierto que contiene a $z$ y el contenido en $U$. Claramente está abierto por la definición de la topología de subespacio. Por la discusión anterior, $z_0$ no es el min o max para $x_0<z_0<x_1$, y esto le da $z\in V$. Ahora tome $(a, \sqrt{1-a^2})\in V\subseteq S^1$. Desde $x_0<a<x_1$, del valor medio teorema da ese $\cos(2\pi c)=a$ algunos $c\in I$. Pero, a continuación, $\sin(2\pi c)=\pm \sqrt{1-a^2}$ y debe ser el signo más desde $c\in I$. Esto le da a $(a, \sqrt{1-a^2})=f(c)$, y desde $c\in I\subseteq f^{-1}(U)$, hemos demostrado que $V\subseteq U$. Lo que hemos demostrado es que el $z$ tiene un barrio alrededor de la cual está contenida en $U$. Queremos extender a todos los posibles $z$, no sólo los positivos segunda coordenada. $Mutatis$ $mutandis$, la misma prueba pasa a través de $z$ con la segunda coordenada negativa. (E. g., el uso de $(z_1-1, 0)$ en la definición de $V$ lugar.) Yo se lo dejo a usted para modificar los detalles de los otros dos puntos. Usted querrá usar sinusoidal en lugar de coseno si lo anterior min/max argumento en estos casos. Esto mostrará $U$ es abierta y completa la prueba.