La intuición detrás de Cauchy Riemann ecuaciones y poder de representación de la serie

Question

El Cauchy Riemann ecuaciones, en efecto, decir que una función $f(z) = u(z)+iv(z)$ se puede aproximar como aproximadamente una escala de rotación

$$f(c+h) \approx f(c) + f'(c)h = f(c) + \begin{bmatrix}u_x & -v_x\\v_x & u_x\end{bmatrix} \begin{bmatrix}h_x \\ h_y \end{bmatrix}$$

De manera informal, si $f$ tiene este tipo de aproximación en cada punto en un dominio, a continuación, se admite una potencia de serie de la representación en cada punto.

Intuitivamente por qué debe tener la escala de la rotación de la aproximación de dar una plena potencia de la serie de la representación? Supongamos que en algún punto de $c$ la de Cauchy Riemann ecuaciones están satisfechos, pero no existe un poder de la serie de la representación en $c$, entonces, presumiblemente, debe haber un punto de vista geométrico, para ver que esto es ridículo y conduce a $f$ no la satisfacción de las Cauchy Riemann ecuaciones en otros lugares.

Answer 1

Es muy posible que la de Cauchy-Riemann de las ecuaciones de ser satisfechos en un punto determinado, o incluso a lo largo de una curva, sin la función analítica en una vecindad del punto. Usted consigue solamente analiticidad si las ecuaciones son satisfechos en todas partes en un conjunto abierto.

Answer 2

Otra pregunta le preguntó esencialmente la pregunta que yo quería hacer. Mientras que las respuestas no se hacen a la existencia de la 2ª derivada obvio que lo hizo dar enlaces a las pruebas de la existencia de la 2ª derivada que no hacen uso de cualquier noción de contorno o la integral de línea. En lugar de confiar en que sólo mirando a diferencia de los cocientes.

G. T. Whyburn, los Desarrollos en el análisis topológico de 1961 http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm50/fm50125.pdf