Si una matriz es superior triangular, ¿contiene su diagonal todos los valores propios? Si es así, ¿por qué?

Question

Si una matriz es triangular superior, ¿contiene su diagonal sus valores propios? Si es así, ¿cómo se puede probar esto? Mi libro de texto y mi profesor simplemente pasaron por alto esta afirmación (estamos trabajando con números complejos, ¿cambia la respuesta si es con números reales?) y me preguntaba si alguien podría proporcionar una prueba.

Answer 1

Los siguientes pasos conducen a una solución:

1) Si una matriz $A$ es triangular superior, demuestra que $A$ es invertible si y solo si ninguno de los elementos en la diagonal es igual a cero.

Supongamos que tienes una matriz $A$ que es triangular superior. Considera $A - \lambda I$. Entonces, para que $A$ tenga un eigenvector distinto de cero, el núcleo de $A - \lambda I$ no debe ser trivial, en otras palabras, $A - \lambda I$ no debe ser invertible.

2) Por lo tanto, demuestra que los valores propios de una matriz que es triangular superior están todos en su diagonal.

Answer 2

Pista 1: El determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos diagonales.

Pista 2: Para probar la Pista 1, desarrolla con respecto a la primera fila o columna y utiliza inducción.