Determinar el $x$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{x+\sqrt{x^2…+\sqrt{x^n}}}} = 2$

Question

Encontrar el valor de $x$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{1+\sqrt{x+\sqrt{x^2…+\sqrt{x^n}}}} = 2$

He intentado deshacerse de raíces cuadradas y consiguió $(...((9-x)^2-x^2)^2-...)^2-x^n = 0$ que no creo que la ayudó. Por favor, me apunte en la dirección correcta.

Answer 1

Permítanme describir un esbozo de la prueba de que $x=4$.

A. Observar que si $f(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\sqrt{x+\sqrt{x^2+\cdots\sqrt{x^n}}}}$, $f$ es estrictamente creciente.

B. se deberá demostrar que $f(4)=2$, y, por tanto, $x=4$ es la única respuesta.

$B_1.$ Fix $m\in\mathbb N$ y muestran que, para $n=m,m-1,m-2,\cdots$ (inducción hacia atrás) $$ 2^n<\sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}}}}<2^n+1, $$ mientras $$ \sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}+1}}}=2^n+1. $$

$B_2.$ El próximo estimar la diferencia $$ (2^n+1)- \sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}}}} \\ =\sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}+1}}}- \sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}}}} \\ =\frac{\sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}+1}}- \sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}}}}{\sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}+1}}}+ \sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}}}}} \\ <\frac{{\sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}+1}}- \sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}}}}}{2\cdot 2^n} \\ <\cdots<\frac{(\sqrt{4^m}+1)-\sqrt{4^m}}{2^{m n}\cdots 2^{n+(n+1)+\cdots+(m-1)}}=2^{-\frac{(m-n)(n+m+1)}{2}} $$ Así $$ \lim_{m\to\infty}\sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}}}}=2^n+1. $$ Para $n=0$ hemos $$ \lim_{m\to\infty}\sqrt{1+\sqrt{4+\cdots\sqrt{4^{m-1}+\sqrt{4^m}}}}=2^0+1=2. $$

Answer 2

Sugerencia: Pretender que hay un $+1$ en el último nivel. Entonces $$4^{n-1}+\sqrt{4^n}+1~=~2^{2(n-1)}+2^n+1~=~2^{2(n-1)}+2\cdot2^{n-1}+1~=~(2^{n-1}+1)^2.$$ Can you see what happens ? :-$)~$ Now, as $n\to\infty,$ the numerical influence gained by adding that extra $+1$ at the top level tends towards $0.$

Answer 3

$$A = \sqrt{1+\sqrt{x+\sqrt {x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4+\sqrt{x^5+...}}}}}} = 2$$

$$A = \sqrt{1+\sqrt{x\left(1+\sqrt {1+\sqrt{x^1+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+...}}}}\right)}} = 2$$

$$A = \sqrt{1+\sqrt{x(1+A)}} = 2,A =2$$

$$ \sqrt{1+\sqrt{3x}} = 2$$

$$ 1+\sqrt{3x} = 4$$

$$ \sqrt{3x} = 3$$

$$ x = 3$$