Módulos proyectivos $kG$ equivalente a inyectiva.

Question

Que $k$ un campo y $G$ grupo finito. Quiero demostrar que un módulo de $kG$$P$es proyectivo iff es inyectiva. Demostró que si el módulo es proyectivo entonces es inyectiva.

1) $kG$ es inyectiva porque $Hom_{kG}(M,kG)=Hom_{k}(M,k)$. Por cada módulo de #% % libre #% es inyectiva.

2) cada módulo proyectivo es un sumando gratis de gratis, así que es inyectiva.

Pero no sé cómo puedo probar que módulos inyectivo son proyectivos

Answer 1

Si $M$ es cualquier $kG$-módulo, entonces $kG \bigotimes_{k} M$ es un libre $kG$-módulo y el homomorfismo del módulo kG

$$ m \mapsto \sum_{g \in G} g \otimes g^{-1} m$$

es inyectiva. Si $M$ es inyectiva, entonces libre $kG$-módulos son inyectiva, $M$ ahora es un sumando directo de un # gratis $kG$-módulo y por lo tanto es proyectivo.