Cohen-Macaulay/Gorenstein pasando de fibra gradual general asociada

Question

Deje $R$ ser un filtrado conmutativa anillo sobre un campo de $k$. Deje $A$ denotar el álgebra de Rees y $A_0:=\operatorname{gr}_F(R)$ ser el asociado gradual anillo. $\operatorname{Spec}(A)$ da lugar a un plano de la familia sobre $\mathbb{A}^1$ con fibra a cero $\operatorname{Spec}(A_0)$ general y de fibra de $\operatorname{Spec}(R)$. Suponga que $A$(y, por tanto,$R$$A_0$) es finitely generado.

Pregunta 1) ¿Es cierto que $\operatorname{Spec}(A_0)$ Cohen-Macaulay implica que $\operatorname{Spec}(R)$ es Cohen-Macaulay?

Pregunta 2) ¿hay una buena condición para al $A_0$ Gorenstein implica que $R$ es Gorenstein? ¿Y en el caso de que la filtración está asociado a algún ideal?

Answer 1

1. Sí. Llame el espacio total de la familia $X$ y deje $X_0=\operatorname{Spec} R_0$. Deje $x\in X_0$ y deje $t$ ser la coordenada en $\mathbb{A}^1$. Considere la secuencia exacta $0\to\mathcal{O}_X\stackrel{t}{\to} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X_0}\to 0$. Tomando los tallos en $x$, obtenemos que $0\to \mathcal{O}_{X,x}\stackrel{t}{\to} \mathcal{O}_{X,x} \to \mathcal{O}_{X_0,x}\to 0$ es exacta, es decir $\mathcal{O}_{X,x}/t\cong \mathcal{O}_{X_0,x}$, por lo que una secuencia regular en $\mathcal{O}_{X_0,x}$ da lugar a una secuencia regular en $\mathcal{O}_{X,x}$ anexando $t$. (En general, esta estrategia funciona para cualquier surjective plana de morfismos de los esquemas de $f:X\to Y$. $X$ es CM iff $Y$ es CM y cada fibra de $X_y$ es CM). Esto demuestra que cada punto en $X_0$ considerado como un punto de $X$ es Cohen-Macaulay, y desde Cohen-Macaulayness es un estado abierto, existe un conjunto abierto $U$ contiene $X_0$ tal que $U$ es Cohen-Macaulay. Pero por la dilatación de la acción procedentes de $\mathbb{A}^1$, sabemos que $U$ es de hecho todo el espacio.

2. Sí, a través de una estrategia similar a la última vez. En todos los casos, vamos a $f:X\to Y$ ser un piso surjective de morfismos de esquemas. $X$ Gorenstein es equivalente a $Y$ Gorenstein y $X_y$ Gorenstein para todos los $y\in Y$. Véase, por ejemplo, http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250523903 teorema 1. Aplicar con $X$ mismo como en 1 y $Y=\mathbb{A}^1$ conseguir que cada punto de $X_0$ considerado como un punto en $X$ es Gorenstein, se combinan con Gorenstein ser un estado abierto, y el mismo razonamiento acerca de la dilatación de la acción.

Answer 2

El propósito de esta respuesta es proporcionar ciertas aclaraciones que KReiser la respuesta

1) En general, no es cierto que la fibra debe ser Cohen Macaulay vea el Ejemplo 3.6 de https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.kjm/1250521977 para un ejemplo en donde la $R=k[x,y]/(x^2,xy)$, la filtración se asocia a la máxima ideal $(x,1-y)$, e $A_0=k[y]$.

2) con el fin De deducir el CM de la propiedad o Gorenstein propiedad de la fibra especial, utilizando el enfoque descrito en KReiser la respuesta (o en álgebra conmutativa, el enfoque del artículo anterior) una de las necesidades que cada $\mathbb{G}_m$ órbita tiene un punto límite en el especial de fibra.

La situación más fácil para hacer esto es cuando el descenso de la filtración vive en valor no positivo de grados y $F_0=k\cdot 1$. En el caso de las filtraciones, asociado a un ideal $I$(la configuración del citado artículo), esto es bastante raro y requiere que el $I$ está contenida en el Jacobson radical de $R$.