Sustitución hace el Integral igual de límites

Question

Esto parece un básico de cálculo pregunta, que es un poco vergonzoso, ya que soy un estudiante de posgrado, pero ¿qué significa cuando una sustitución en una integral definida, hace que los límites de la misma? Por ejemplo, si tenemos una función de $sin(x)$:

$$\int_0^{\pi} f(sin(x)) \, dx$$

Si hacemos la sustitución de $u = \sin(x)$,$du = \cos(x)\,dx$, así nos encontramos con

$$\int_{\sin(0)}^{\sin(\pi} \frac{f(u)}{\cos(x)} \, du = \int_0^0 \frac{f(u)}{\sqrt{1-u^2}} \, du$$

Esto implicaría que la integral es cero. Es éste siempre el caso? Para otro ejemplo (el más relevante para el problema en realidad estoy tratando de resolver) considerar

$$\int_{-b}^{b} \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\, dx$$

Claramente esto puede ser resuelto mediante una sustitución trigonométrica para obtener $2\text{arcsinh}(b)$, pero lo que si he sustituido $u = \sqrt{x^2 + a^2}$? Entonces

$$du = \frac{x\, dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} \implies dx = \frac{u\, du}{x} = \frac{u\, du}{\sqrt{u^2 - a^2}},$$

por lo que la integral se convierte en

$$\int_{\sqrt{b^2 + a^2}}^{\sqrt{b^2 + a^2}} \frac{1}{\sqrt{u^2 - a^2}}\, du$$

Esta integral parece ser cero, lo cual no es el caso de la integral antes de la sustitución.

¿Qué está pasando aquí? ¿Esto solo significa que estas sustituciones no son válidos?

Answer 1

El primer resultado es correcto, y el integral es $=0$.

Para el segundo, tener en cuenta que implica la de sustitución $u=\sqrt{x^2+a^2}$: $$ u\ge 0 \quad \mbox{and}\quad x = \pm\sqrt {u ^ 2-a ^ 2} $$ por lo que:

$$ dx = \frac {udu} {\sqrt {u ^ 2-a ^ 2}} \mbox{for}\quad x \ge 0 $$

$$ dx = \frac {udu} {-\sqrt {u ^ 2-a ^ 2}} \mbox{for}\quad x < 0 $$

y la integral se divide en dos partes como $\int_{-b}^0 +\int_0^b$. Esto da el resultado correcto.

Answer 2

La primera integral es NO cero!!! Deje $f$ ser la función identidad, por ejemplo.

En la segunda integral es incorrecto decir que el $x=\sqrt{u^2-a^2}$ para todos los valores de $x$. En la primera parte integrante de la misma: $cos(x)=\sqrt{1-u^2}$ no es verdadera para todos los valores de $x$.

Cuando la sustitución no es inyectiva, los problemas surgen cuando se intenta expresar el integrando en términos de la nueva variable, como puede verse en estos ejemplos. Así que siempre dividir la integración dominio, de modo que no es de inyectividad en cada parte.