Deje $k$ ser un anillo conmutativo y deje $M,N$ piso de dos módulos más de $k$.
$\mathbf{EDIT}:$ A un mínimo la generación de set $X \subseteq M$ es un conjunto que genera $M$ y ningún subconjunto de $X$ genera $M$. No hay ninguna noción canónica de tamaño para un mínimo de generación de establecer, por ejemplo, $\mathbb Z$ ha electrógenos $\{ 1 \}$$\{ 2, 3\}$$\mathbb Z$.
Mi pregunta: ¿es cierto que
Si $\{ m_i \mid i < \lambda\}$ es un mínimo grupo electrógeno $M$ $\{ n_j \mid j < \kappa \}$ es un mínimo grupo electrógeno $N$ $\{ m_i \otimes n_j \mid i < \lambda; j< \kappa\}$ es un mínimo grupo electrógeno $M \otimes N$?
o, equivalentemente,
Si $\{ m_i \mid i < \lambda\}$ es un mínimo grupo electrógeno $M$ $\{ n_j \mid j < \kappa \}$ es un mínimo grupo electrógeno $N$ cada vez que una combinación lineal finita $ \displaystyle\sum_{(i,j)< \lambda \times \kappa}\alpha_{(i,j)} m_i \otimes n_j = 0$, cada una de las $\alpha_{(i,j)}$ no es una unidad?
He intentado probar esto para el caso de al $k$ es un campo, pensando en términos de la llanura : Vamos a $V, W$ ser espacios vectoriales y deje $\{ v_i \mid i< \lambda\}, \{ w_j \mid j < \kappa\}$ ser bases para $V,W$ respectivamente. Podemos definir fácilmente los mapas de $f \colon \oplus_{i < \lambda} k \to V$ $g \colon \oplus_{j< \kappa} k \to W$ que enviar secuencias de $(\alpha_i )_{i< \lambda}$$\sum_{i < \lambda } \alpha_i v_i$$( \beta_j )_{j < \kappa }$%#%. Estos mapas son inyectiva porque de la independencia lineal de la propiedad de las bases. Por la planitud de los mapas $\sum_{j < \kappa }\beta_j w_j$$$ \bigoplus_{i < \lambda}k \otimes \bigoplus_{j < \kappa}k \xrightarrow{f \otimes 1} V \otimes \bigoplus_{j < \kappa}k \quad \text{and} \quad V \otimes \bigoplus_{j < \kappa} k \xrightarrow {1 \otimes g} V \otimes W $$ are injective and so the composite $$ es inyectiva. Este mapa se inyectiva nos dice que la propuesta de base realidad es linealmente independiente.
Sé que hay maneras mucho más fáciles de hacer eso, pero como me dijo que me quería pensar en la planitud de los módulos más de su libre-ness. Sin embargo, esta prueba no generalizar a todos los módulos debido a $ \bigoplus_{(i,j) < \lambda \times \kappa} k \cong \bigoplus_{i < \lambda}k \otimes \bigoplus_{j < \kappa}k \xrightarrow {f \otimes g} V \otimes W$ no son necesariamente va a ser inyectiva, y la noción de independencia lineal en realidad no funciona para los módulos en general. En cambio, tenemos que la falta de unidad de la condición anterior. Hay una forma de adaptar esta prueba, o un tipo totalmente diferente de la prueba?
