Por qué la inyección holomórfica en $\mathbb{C}^n$ debe ser biholomorfo?

Question

Este resultado es ciertamente correcto en el caso unidimensional. Pero no sé cómo demostrar el caso general por inducción. ¿Puede alguien decirme el detalle, por favor?

Answer 1

Este es de hecho más sutil que se puede pensar. (He leído la pregunta un poco descuidada en primer lugar). Aquí es un argumento que sigue de cerca el presentado en el Rango de Holomorphic Funciones e Integral de las Representaciones en Varias Variables Complejas.

Vamos a necesitar un par de lemas

Lema 1 Deje $D$ ser un dominio en $\mathbb{C}^n$ y asumir que $f$ es holomorphic en $D$. Si la puesta a cero de $f$ no está vacía (y $f$ no es la función cero) no es un conjunto abierto $U \subset D$ tal que $f^{-1}(0) \cap U$ es un no-vacío complejo submanifold de $D$ de codimension $1$.

La prueba es un poco técnico. Si hay un punto de $p$ en el ajuste a cero de la $Z$ $df(P) \neq 0$ no hay ningún problema. Para el caso general, vamos a $\Lambda = \{ n \in \mathbb{N} : D^\alpha f(z) = 0 \text{ for all $z \Z$ and all $\alpha$ with $|\alpha| \le n$} \}$. Por el teorema de identidad, $\Lambda$ es finito. Tomar una multi-índice de $\beta$ $|\beta| = \max \Lambda$ tal que $d(D^\beta f)(p) \neq 0$ algunos $p \in Z$ que $Z$ está contenida en el ajuste a cero de $D^\beta f$.

Si $U$ es suficientemente pequeño barrio de $p$, $(D^\beta f)^{-1}(0) \cap U$ es una $n-1$ dimensiones complejas submanifold de $U$. De hecho, podemos optar $U$ tal que $Z \cap U = (D^\beta f)^{-1}(0) \cap U$.

Después de un cambio de coordenadas, podemos suponer $P = 0$ $(D^{\beta}f)^{-1}(0) = \{ (w',w) \in W: w_n = 0 \}$ para algunos pequeños nbh $W$$0$. Elija $\delta_n > 0$ tan pequeño que $f(0', w_n)$ tiene un cero de orden $k$ $w_n=0$ y ningún otro cero para $|w_n|<\delta_n$. Por la continuidad de $f$ y el teorema de Rouché, el número de ceros de $f(w',w_n)$ $|w_n|<\delta_n$ es constante (es decir,$k$) $w'$ $\|w'\|$ lo suficientemente pequeño. Así que si $U$ es lo suficientemente pequeño como polydisc alrededor de $0$, entonces para cada a $w'$ hay al menos un $w_n$ $(w',w_n) \in U$ tal que $f(w',w_n) = 0$. De la manera en que las coordenadas fueron elegidos, $w_n = 0$, yo.e $Z \cap U = (D^\beta f)^{-1}(0) \cap U$.

Teorema: Si $F : D \to \mathbb C^n$ es inyectiva, entonces $\det F'(z) \neq 0$

El caso de $n=1$ es bien conocida y se sigue de la normal estándar forma de holomorphic función. Supongamos que el teorema ha sido demostrado por $n-1$ variables.

Lema 2 Bajo los supuestos anteriores, si $F'(a) \neq 0$ (matriz), a continuación,$\det F'(a) \neq 0$.

WLOG, podemos asumir que $F = (f_1, \ldots, f_n)$$\partial f_n\partial z_n(a) \neq 0$. Si $w = (z_1, \ldots, z_{n-1}, f_n(z))$$\det( \partial w_k/\partial z_j)(a) \neq 0$, lo $w$ define holomorphic coordenadas cerca de $a$. En estas coordenadas, $F \circ w^{-1}$ está dado por $$\tilde F(w) = (g_1(w), \ldots, g_{n-1}(w), w_n ) $$ con $g_j$ holomorphic en $b=w(a)$. Escribir $w = (w',w_n)$ y definir $$G(w') = (g_1(w',b_n), \ldots g_{n-1}(w',b_n)).$$ A continuación, $G$ es un inyectiva holomorphic mapa en $n-1$ variables en un nbh de $b' = (b_1,\ldots, b_{n-1})$, y en el indutive hipótesis, $\det G'(b) \neq 0$. Por lo tanto $\det \tilde F'(b) \neq 0$, es decir,$\det F'(a) \neq 0$.

Volviendo a la prueba del teorema, vamos a $h = \det F'$. A continuación, $h$ es holomorphic en $D$. Suponga que el ajuste a cero de la $Z$ $h$ no está vacía. Por el primer lema, $Z$ contiene un complejo submanifold $M$ de la dimensión de $n-1$. Por el segundo lexema $F'(z) = 0$ todos los $z \in Z$, lo $F' \equiv 0$$M$. Pero esto implica que $F$ es localmente constante en $M$ (buscar en un local de la parametrización de $M$), lo que muestra que $F$ no puede ser inyectiva. Por lo tanto $Z$ no puede ser vacío.

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Nota: es fundamental que $F : \mathbb C^n \to \mathbb C^n$. El mapa de $f(z) = (z^2, z^3)$ $\mathbb C$ $\mathbb C^2$es inyectiva, pero $F$ es singular en $0$.

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Tenga en cuenta que en contraste con el caso unidimensional, no se puede concluir que, si $f: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ es inyectiva, entonces la imagen de a $f$ es todo el espacio. Al $n \ge 2$, no se llama así Fatou-Bieberbach dominios, es decir, adecuada subdominios de $\mathbb{C}^n$ que son biholomorphic a $\mathbb{C}^n$.