Evaluar : $\int _0^{\infty } \sin (ax^2)\cos \left(2bx\right)dx$

Question

¿Cómo puedo resolver

$$\int_{0}^{\infty} \sin \left (ax^2 \right) \cos \left (2bx \right)dx$$

Gracias.

Answer 1

Asumiré que $a \gt 0$ . Una forma de atacar esta integral es extender la región de integración a toda la recta real por simetría, y luego dividir el producto en una suma de senos. Así, la integral es

$$\frac14 \int_{-\infty}^{\infty} dx \, \sin{\left ( a x^2+2 b x \right )} + \frac14 \int_{-\infty}^{\infty} dx \, \sin{\left ( a x^2-2 b x \right )}$$

que puede expresarse como

$$\frac14 \operatorname{Im}{\left [\int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i (a x^2+2 b x)} \right ]}+\frac14 \operatorname{Im}{\left [\int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i (a x^2-2 b x)} \right ]} $$

Completa los cuadrados y obtén

$$\frac14 \operatorname{Im}{\left [ e^{-i b^2/a} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i a (x+b/a)^2} \right ]} + \frac14 \operatorname{Im}{\left [ e^{-i b^2/a} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i a (x-b/a)^2} \right ]} $$

Obsérvese que ambas integrales son iguales, sólo desplazamos los respectivos orígenes. Así que ahora tenemos que la integral es igual a

$$\frac12 \operatorname{Im}{\left [ e^{-i b^2/a} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i a x^2} \right ]}$$

La integral converge y se puede demostrar que es igual a $\sqrt{\pi/(-i a)}$ . Así, encontramos que

$$\int_0^{\infty} dx \, \sin{a x^2} \, \cos{2 b x} = \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{2 a}} \left (\cos{\frac{b^2}{a}}-\sin{\frac{b^2}{a}} \right ) $$

Answer 2

En cuanto a la antiderivada, empieza a escribir $$\sin \left (ax^2 \right) \cos \left (2bx \right)=\frac12\left(\sin(ax^2+2bx)+\sin(ax^2-2bx)\right)$$ Ahora $$ax^2+2bx=\left(\sqrt a x +\frac{b}{\sqrt a}\right)^2-\frac{b^2}a$$ $$ax^2-2bx=\left(\sqrt a x -\frac{b}{\sqrt a}\right)^2-\frac{b^2}a$$ Ahora, considere $$I=\int \sin(ax^2+2bx)\,dx$$ y cambiar la variable en consecuencia para cada seno. Expande el seno y llegarás a una cominación lineal de integrales de Fresnel de seno y coseno. Volver a $x$ , debería obtener $$I=\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} \left(\cos \left(\frac{b^2}{4 a}\right) S\left(\frac{b+2 a x}{\sqrt{a} \sqrt{2 \pi }}\right)-\sin \left(\frac{b^2}{4 a}\right) C\left(\frac{b+2 a x}{\sqrt{a} \sqrt{2 \pi }}\right)\right)}{\sqrt{a}}$$ Asimismo, $$J=\int \sin(ax^2-2bx)\,dx$$ $$J=-\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} \left(\sin \left(\frac{b^2}{4 a}\right) C\left(\frac{2 a x-b}{\sqrt{a} \sqrt{2 \pi }}\right)-\cos \left(\frac{b^2}{4 a}\right) S\left(\frac{2 a x-b}{\sqrt{a} \sqrt{2 \pi }}\right)\right)}{\sqrt{a}}$$ Supongo que tienes todas las piezas para terminar tu problema.