La descomposición de un colector de

Question

Como una especie de un lado a esta pregunta, donde una de las respuestas considera que si $S^n=X \times Y$ entonces podemos asumir que $X$ $Y$ son los colectores.

Si tenemos un colector $M$, de tal manera que $M$ es homeomórficos a $X \times Y$, entonces debe $X$ $Y$ ser colectores? A la inversa ($X,Y$ colectores implica $X \times Y$ es un colector) es cierto. Me gustaría pensar que es cierto, pero he visto lo suficiente extraño topológico de comportamiento que sugiere que esto puede no ser cierto.

Para esta pregunta en "colector" para significar un segundo contables espacio de Hausdorff localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^n$, para algunos finito $n$.

Answer 1

Descargo de responsabilidad: estoy de ninguna manera con conocimientos en este campo y no he leído los periódicos o los libros que menciono a continuación. Me he encontrado con estas cavando en la literatura y la esperanza de estos punteros son útiles.

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La respuesta a tu pregunta es no.

1. El primer ejemplo fue dado por R. H. Bing, El Producto Cartesiano de un Cierto no múltiples y una Línea de es $E^4$, Ann. de Matemáticas. (2) 70 (1959) 399-412. MR107228.

   Bing describe un espacio topológico $B$ — de hecho, un cociente de un espacio de $\mathbb{R}^3$, a veces llamado el hueso de perro de espacio — que no de un colector y tiene la propiedad de que $B \times \mathbb{R}$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^4$.

2. La modificación de esta construcción y basándose en gran medida en el trabajo de Andrews y Curtis, K. W. Kwun, Producto de la Euclídea Espacios Modulo de un Arco, Ann. de Matemáticas. (2) 79 (1964) 104-108, MR159312, producto de descomposición de $\mathbb{R}^n \cong X \times Y$ $n \geq 6$ donde ni $X$ ni $Y$ es un colector.

3. Aquí hay dos disponibles libremente papeles por A. J. Boals:

   • No múltiples factores de Euclídea espacios, Fondo. De matemáticas. 68 (1970), 159-177, MR275396 , en la que describe las clases de $\Gamma_{m}$ $\Gamma_{n}$ con la propiedad de que para cualquier espacios de $X \in \Gamma_{m}$ $Y \in \Gamma_{n}$ tenemos $X \times Y \cong \mathbb{R}^{n+m}$.

   • Factores de $E^{n+3}$ con infinidad de puntos malos, Fondo. De matemáticas. 73 (1972), 95-99, MR319201.

4. Citando a C. D. Bass, Algunos productos de espacios topológicos que son los colectores, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 81 (1981), 641-646, MR601746, Corolario 3 en la página 645 "proporciona abundantes ejemplos de factorizations de algunos colectores en no múltiples factores".

5. Un libro de texto que cubren estos y muchos más temas:

   Daverman, Robert J., la Descomposición de los colectores, Pura y Matemática Aplicada, 124, Academic Press, 1986, MR872468. (Reimpreso por la AMS, 2007).

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Aquí están relacionados con dos MO-hilos:

• Es $\mathbb R^3$ la plaza de algunas topológica del espacio? (Richard Doré)

• Las raíces cuadradas de los $\mathbb R^{2n}$ (Mariano Suárez-Alvarez)

Añadido: Una más MO-hilo fue publicado y respondió un par de horas:

• No Euclidiana del espacio tienen un compacto factor? (Richard Kent)