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Question

Deje $\Bbb{T}$ ser el multiplicativo subgrupo de $\Bbb{C}\setminus\{0\}$ con la unidad de módulo de e $C$ el subgrupo aditivo de $\Bbb{R}^2$ generado por un no-vector cero. Mostrar que $\Bbb{R}^2/C \cong \Bbb{T} \times \Bbb{R}$.

Mi idea inicial es que de alguna manera encorporate el primer teorema de isomorfismo, como el caso de $\Bbb{R}/\Bbb{Z} \cong \Bbb{T}$, pero yo no puedo entenderlo. Así que otro pensamiento que está por venir para arriba con algunas de la cadena de isomorphisms en el que cada componente isomorfismo sería más fácil de manejar. Sin embargo, me han dicho que no es "natural" isomorfismo que, por supuesto, sería preferible.

Consejos y las instrucciones son apreciados.

Answer 1

Sugerencia: Dejar $q: \mathbb{R} \to \mathbb{T}$ ser el mapa del cociente que ya sabes. Ahora tienes la secuencia de homomorphisms del Grupo: $$C \hookrightarrow \mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R} \xrightarrow{q \times \operatorname{id}_{\mathbb{R}}} \mathbb{T} \times \mathbb{R}.$ $

Answer 2

Sugerencia: Defina una función $\varphi:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{T}\times\mathbb{R}$ por $\varphi((x_{1},x_{2}))=(e^{ix_{1}},x_{2}) $ % los $(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2}$.

Encontrar el kernel y luego usar el teorema de isomorfismo. Esto muestra que el $\mathbb{R}^{2}/\left\langle v\right\rangle \cong\mathbb{T}\times\mathbb{R}$ $v$distinto de cero por ciento. Una variación de $\varphi$ se puede dar para mostrar que $\mathbb{R}^{2}/\left\langle v\right\rangle \cong\mathbb{T}\times\mathbb{R}$ cualquier $v$distinto de cero por ciento. .