¿Cómo podemos concluir que dicha función $f(x)$ ¿Existe o no existe?

Question

En este archivo PDF aquí ( archivo de OCW.MIT ) , problema 1 : parte c .

Para la ecuación diferencial , $\frac{dy}{dx} = y^2 - x^2 $ , Existe un número $y_o$ de manera que si $y$ es una solución con $y(0) > y_0 $ entonces $y$ se hace grande a medida que $x$ se hace grande, mientras que si $y(0) < y_0$ entonces $y$ disminuye a medida que $x$ aumenta cuando $0.66 < y_o < 0.68$ .

¿Hay alguna función $f(x)$ tal que $y(x) > f(x)$ para todos $x > 0$ siempre que $y$ es una solución con $0 < y(0) < y_0$ ?

cuando utilicé un software ( Funciona en el navegador ) que es proporcionado por el sitio , ( aquí ) y he elegido el DF necesario, he adivinado por el esquema geométrico que tal $f$ existe , es decir, cualquier función $f$ tal que $f(0)<y(o)$ satisfacer la condición, pero el ejercicio pide una explicación, así que ¿alguna idea?

Answer 1

Esto no parece correcto. Si $y_0\ne 0$ entonces $dy/dx$ comienza con un valor positivo y por lo tanto $y$ es creciente. Así que si empiezas con digamos $y_0=0.6$ entonces al inicio tienes $dy/dx=0.6^2-x^2$ que se mantiene en positivo durante un corto periodo de tiempo, por lo tanto $y$ aumentará en ese intervalo.

¿O me estoy perdiendo algo obvio?

He entendido mal el problema. Usted se refiere a la asintótica de la solución, mientras que yo pensaba que se refería a la solución en todo el $[0,\infty]$ .

Answer 2

Supongo que quieres una fórmula explícita para $f$ , o bien puede dejar que $f(x) = \inf_{0<y(0)<y_0} y(x;y(0))$ . (Aquí, $y(x;y(0))$ es la solución de la EDO con condición inicial $y(0)$ - es decir, $y(0;y(0))=y(0)$ .)

Una pista. Ya que quiere un baja con el fin de $y$ que es uniforme para todo (en la familia dada), intenta acotar tu campo vectorial por debajo de una cota que no dependa de estas soluciones. Es decir, para su ODE $y'=g(x,y)$ encontrar G(x) tal que $g(x,y) \ge G(x)$ para todos $y$ . ¿Ves entonces cómo proceder?