¿Existen espacios de Hausdorff que no sean localmente compactos y en los que todos los conjuntos compactos infinitos tengan un interior no vacío?

Question

Este es el material de base con el que estoy trabajando:

1. El conjunto de Cantor es un espacio de Hausdorff compacto e incontable con el vacío.
2. En un espacio Hausdorff localmente compacto, cada conjunto contable tiene el interior vacío.
3. Los números racionales con la topología de subespacio es un espacio Hausdorff no localmente compacto en el que todos los conjuntos compactos tienen el interior vacío.

Estoy tratando de encontrar un espacio Hausdorff no localmente compacto en el que todos los conjuntos compactos infinitos tengan un interior no vacío. Supongo que el ejemplo será un espacio de funciones exóticas.

Answer 1

Dejemos que $X=\Bbb R\cup\{\infty\}$ con la topología discreta en $\Bbb R$ y una vecindad de $\infty$ es un conjunto con un complemento contable. Este $X$ es claramente Hausdorff.
Lo curioso de este espacio es que cada conjunto compacto es finito. Un espacio así se llama anti-compacto . Para ver esto, dejemos $S$ sea un subconjunto infinito. Si evita $\infty$ entonces tiene la topología discreta y no es compacta. Si $\infty\in S$ , entonces elige un subconjunto contable $Q$ de $S$ y nota que $(S-Q)\cup\bigcup_{q\in Q}\{q\}$ es una cubierta abierta infinita de $S$ sin una subcubierta finita. Esto significa que ningún conjunto infinito es compacto. En particular, $\infty$ no tiene una vecindad compacta, por lo que $X$ no es localmente compacto.

Ahora bien, la propiedad que deseas se satisface de forma vacía ya que no existen subconjuntos compactos infinitos :-)