Hay una secuencia de números reales tales que el conjunto de sus subsequential límites es $[0,1]$?

Question

Hay una secuencia de números reales tales que el conjunto de sus subsequential límites es $[0,1]$?

He estado considerando la secuencia: $$1,~~\frac12,~~\frac22,~~\frac32,~~\frac13,~~\frac23,~~\frac33,~~\frac43,~\ldots~,~~\frac1n,~~\frac2n,~~\frac3n,~\ldots~,~~\frac{n+1}{n},~\ldots$$

¿Se satisface la condición?

Answer 1

Que sí funciona.

Otra opción es dejar que $a_n=\vert\sin(n)\vert$ - este es un buen ejercicio.

O, podemos elegir una enumeración de $\mathbb{Q}\cap [0, 1]$.

Answer 2

Para la pregunta del título: Considere el $\mathbb{Q} \cap [0,1]$.

Para la cuestión de la carrocería: Sí. Para cualquier $x \in [0,1]$ usted puede construir una larga como sigue: seleccione el primer elemento como $1$. Ahora bien, dado el $i$-ésimo elemento construido, para la próxima considerar el $\frac{1}{i+1}$-el barrio, elija un número con denominador mayor que el anterior y deslice el numerador hasta que llega a la vecindad (puede garantizar que esto es posible mediante la selección de una lo suficientemente grande como denominador por la propiedad de Arquímedes).