$w_1,w_2$ son números complejos distintos tales que $|w_1|=|w_2|=1$ y $w_1+w_2=1$

Question

Estoy atascado en el siguiente problema:

Dejemos que $w_1,w_2$ son números complejos distintos tales que $|w_1|=|w_2|=1$ y $w_1+w_2=1$ Entonces el triángulo en el plano complejo con $w_1,w_2,-1$ como vértices

1. debe ser isósceles, pero no necesariamente equilátero

2. debe ser equilátero

Tengo que decidir cuál de las opciones mencionadas es la correcta.

Lo intenté con $\,\,w_1=e^{i\theta},w_2=e^{i \phi},w_3=e^{i \pi}$ pero lo he estropeado. ¿Alguien puede explicar cómo abordarlo?

Answer 1

$$w_k=e^{i\phi_k}\;,\;\;k=1,2\;,\;\;\phi_k\in\Bbb R\implies 1=w_1+w_2=\cos\phi_1+i\sin\phi_1+\cos\phi_2+i\sin\phi_2\implies$$

$$\sin\phi_1=\sin(-\phi_2)\iff \begin{cases}\phi_1=-\phi_2\\{}\\\phi_1=\pi+\phi_2\end{cases}$$

En el primer caso tenemos

$$2\cos\phi_1=1\implies \phi_1=\pm\frac\pi3$$

En la segunda obtenemos

$$1=\cos\phi_1+\cos(\phi_1-\pi)=0\implies\;\;\text{contradiction}$$

Bueno, termina el argumento...

Answer 2

Utilizando $w_1=\cos A+i\sin A,w_2=\cos B+i\sin B$

$\sin A+\sin B=0\implies \sin A=-\sin B$ $\implies \cos A=\pm\sqrt{1-\sin^2A}=\pm\sqrt{1-\sin^2B}=\pm\cos B$

Como $\cos A+\cos B=1,\cos A\ne-\cos B\implies \cos A=\cos B=\frac12$

Así que, $\sin A=\pm\sqrt{1-\cos^2A}=\pm\frac{\sqrt3}2 \implies \sin B=-\sin A=\mp \frac{\sqrt3}2$

Así, las vertientes son $(-1,0),(\frac12, \frac{\sqrt3}2), (\frac12, -\frac{\sqrt3}2)$