Explicando una cita de Weinberg sobre la signifcance de grupos de simetría en la física

Question

Cuando se realiza este proceso a través de un libro, me encontré con esta cita:

El universo es un enorme producto directo de las representaciones de la simetría grupos. -Steven Weinberg

Soy un matemático (por lo que yo sé, sólo el basic de alto nivel de la escuela de física), pero sé un poco acerca de la simetría de los grupos y sobre las representaciones de los grupos. Me pregunto si alguien podría explicar lo que ha motivado la cita anterior. Me representaciones parecer muy abstracto de los objetos que deben ser completamente ajenos al mundo real, así que estoy naturalmente muy interesados en saber cómo este está conectado a la física.

Answer 1

Doy mi tiro:

Un moderno punto de vista de las matemáticas de las teorías cuánticas es que las características observables (objetos que se pueden medir) de la teoría de la auto-adjunto operadores afiliados a un álgebra de von Neumann $V$. Un operador está afiliada a un álgebra de von Neumann si todos sus espectral proyecciones son en el álgebra (o, si acotado, si ella misma no está en el álgebra).

En orden para $V$ a ser un álgebra relevante para describir un sistema físico, que debe contener la representación adecuada de ciertos grupos de simetría: un ejemplo básico sería el (posiblemente infinito dimensional) de Heisenberg grupo asociado a la canónica relaciones de conmutación.

Ahora un sistema físico que luego es aplicada por un estado $\omega$ del álgebra $V$ (un elemento positivo de su doble $V^*$ con la norma); y $\omega(v)$, $v\in V$, físicamente representa el valor promedio de $v$ en el estado $\omega$ (o si $v$ es una proyección espectral correspondiente a un observable $w$, se da la probabilidad de que la medición de un determinado rango de valores de $w$ en el estado $\omega$). A este estado $\omega$ se asocia, a través de la GNS de la construcción, una representación cíclica $(\pi_\omega,H_\omega, \Omega_\omega)$ del álgebra $V$ delimitada operadores de $\pi_\omega(v)$ sobre el espacio de Hilbert $H_\omega$ (e $\Omega_\omega$ es el vector cíclico). Esta representación es también una representación de la citada simetría de los grupos representados en $V$.

Ahora, para construir el "universo" $(\pi, H)$, es decir, el espacio de Hilbert que da cuenta de todos los posibles estados físicos, simplemente se toma la suma directa de todos estos cíclico GNS representaciones: $$(\pi,H)=\bigl(\oplus_\omega \pi_\omega \, ,\, \oplus_\omega H_\omega\bigr) \; .$$ Esto le da al universo de todos los posibles estados físicos, y por Gelfand-Naimark teorema es isométricamente $*$-isomorfo al álgebra $V$.

Este es también, como se describió anteriormente, la suma directa de representaciones de los grupos de simetría. Yo creo que él se centra en este aspecto debido a que estos grupos de simetría son realmente cruciales para caracterizar y describir los sistemas físicos. Muchas veces uno se construye el álgebra $V$ de los observables de la teoría, precisamente como el más pequeño de von Neumann álgebra que contiene el pertinente simetría de los grupos.

Answer 2

Usted probablemente sabe que hay algunas simetrías fundamentales a las leyes de la física. Pero para definir la acción de la simetría, no debe ser un objeto de aplicarlo. Tal objeto es más, naturalmente, matemáticamente expresado como una representación de la respectiva grupo de simetría.

Weinberg consta de dos casos en su mente, partículas (partículas campos) como de Lorentz-grupo de representaciones y medidor de campos (es decir, leyes de conservación/simetrías de la interacción de partículas) como la simetría interna de las representaciones. A partir de estos dos ingredientes, el modelo Estándar de la física de partículas está construido. I. e. se puede entender el modelo actual de todas las interacciones de la materia y la energía (arriba a la gravedad) como una teoría cuyo espacio de configuración es un producto directo de la simetría de las representaciones.

(La gravedad puede ser también entendido como el (1,1) representación del grupo de Lorentz, pero el directo productness con el modelo Estándar y el conjunto de medidor de campo de la naturaleza de la teoría es discutible.)

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Como a todo el universo, el estándar de la cosmología de los modelos espaciales de la rebanada del universo como un máximo simétrica múltiple, es decir, el trivial representación del grupo de traslaciones y rotaciones. Aquí, sin embargo, usted tiene que tomar Weinberg con un grano de sal, ya que la máxima simetría espacial de la rebanada es sólo aplicable a partir de $\sim Mpc$ escalas y no hay argumento fundamental por lo que debe ser una representación del grupo de rotaciones y traslaciones.

Answer 3

Creo que la gente tal vez más-el pensamiento de este, y que la explicación aquí es más simple que las otras respuestas puede sugerir.

A pesar de que para un matemático, teoría de la representación es obviamente una abstracta de la materia, es bastante común en la física matemática para referirse a las partículas como las representaciones de sus asociados simetría de los grupos. Así, por ejemplo, la $u$, $d$ y $s$ quarks son bastante comúnmente se conoce como una primera aproximación a la representación de SU(3).

Así de Weinberg (o quien sea) comentario aquí está, creo, no hay más que un poco caprichosa de la inversión de la idea de que la matemática es para explicar la física, a través de la caracterización del universo a representar a la asignatura de matemáticas.