Doy mi tiro:
Un moderno punto de vista de las matemáticas de las teorías cuánticas es que las características observables (objetos que se pueden medir) de la teoría de la auto-adjunto operadores afiliados a un álgebra de von Neumann $V$. Un operador está afiliada a un álgebra de von Neumann si todos sus espectral proyecciones son en el álgebra (o, si acotado, si ella misma no está en el álgebra).
En orden para $V$ a ser un álgebra relevante para describir un sistema físico, que debe contener la representación adecuada de ciertos grupos de simetría: un ejemplo básico sería el (posiblemente infinito dimensional) de Heisenberg grupo asociado a la canónica relaciones de conmutación.
Ahora un sistema físico que luego es aplicada por un estado $\omega$ del álgebra $V$ (un elemento positivo de su doble $V^*$ con la norma); y $\omega(v)$, $v\in V$, físicamente representa el valor promedio de $v$ en el estado $\omega$ (o si $v$ es una proyección espectral correspondiente a un observable $w$, se da la probabilidad de que la medición de un determinado rango de valores de $w$ en el estado $\omega$). A este estado $\omega$ se asocia, a través de la GNS de la construcción, una representación cíclica $(\pi_\omega,H_\omega, \Omega_\omega)$ del álgebra $V$ delimitada operadores de $\pi_\omega(v)$ sobre el espacio de Hilbert $H_\omega$ (e $\Omega_\omega$ es el vector cíclico). Esta representación es también una representación de la citada simetría de los grupos representados en $V$.
Ahora, para construir el "universo" $(\pi, H)$, es decir, el espacio de Hilbert que da cuenta de todos los posibles estados físicos, simplemente se toma la suma directa de todos estos cíclico GNS representaciones:
$$(\pi,H)=\bigl(\oplus_\omega \pi_\omega \, ,\, \oplus_\omega H_\omega\bigr) \; .$$
Esto le da al universo de todos los posibles estados físicos, y por Gelfand-Naimark teorema es isométricamente $*$-isomorfo al álgebra $V$.
Este es también, como se describió anteriormente, la suma directa de representaciones de los grupos de simetría. Yo creo que él se centra en este aspecto debido a que estos grupos de simetría son realmente cruciales para caracterizar y describir los sistemas físicos. Muchas veces uno se construye el álgebra $V$ de los observables de la teoría, precisamente como el más pequeño de von Neumann álgebra que contiene el pertinente simetría de los grupos.
