En un vértice de un pentágono inscrito en un círculo de unidad de diámetro (unidad de diámetro, no de la unidad de radio) dejar que el ángulo entre las diagonales adyacentes ser $\alpha,\beta,\gamma$, en el siguiente, $\beta,\gamma,\delta$, en la próxima $\gamma,\delta,\varepsilon$,$\delta,\varepsilon,\alpha$, y, finalmente,$\varepsilon,\alpha,\beta$. Tenga en cuenta que $$ \alpha+\beta+\gamma+\delta+\varepsilon=\pi. \etiqueta{restricción} $$ Nota posterior: (no sea que nada de ser malentendido, aviso de que lo que escribí arriba es verdad de todos los pentágonos inscrito en un círculo. Ángulos de los vértices en el círculo tienen la misma medida si se está subtendido por el mismo arco. Por consiguiente, si los tres ángulos entre diagonales adyacentes a un vértice se $\alpha,\beta,\gamma$, en ese orden, a continuación, dos de los ángulos entre diagonales adyacentes en uno de los vértices vecinos deben ser$\alpha$$\beta$, y dos de esos en los otros vecinos vértice debe ser$\beta$$\gamma$. E independientemente de la forma del pentágono, la suma de los cinco ángulos debe ser la mitad de un círculo. Esa es una proposición general acerca de los polígonos inscritos en un círculo, que, cuando se aplica a triángulos, dice que la suma de los tres ángulos es la mitad de un círculo.) Fin de nota posterior
No es difícil mostrar que el área del pentágono es $$ \frac{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)+\sin(2\delta)+\sin(2\varepsilon)}{8}.\la etiqueta{1} $$ Se trata de algo más trabajo para demostrar que si la "restricción" de arriba se mantiene, entonces $(1)$ es igual a $$ \frac 1 2 \left(\overbrace{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}^\text{sines}\ \overbrace{\cos\delta\cos\varepsilon}^\text{cosenos} +\ \cdots\text{nueve más }\cdots\ - \overbrace{2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\sin\delta\sin\varepsilon}^\text{todos sines} \right). $$ (Debe ser obvio lo que el nueve más términos son: elegir tres factores en cada período de los senos y, a continuación, los otros dos son los cosenos.)
(Hasta donde yo sé, esta es mi propia. Ya lo he dicho aquí al menos una vez antes.)
Pueden los once términos interpretarse como áreas?
Más TARDE EDIT: Incluso para los cuadriláteros parece misterioso. Si el ángulo entre las diagonales adyacentes se $\alpha+\beta+\gamma+\delta=\pi$, y dos de ellos se producen en cada vértice, y cada uno se produce en dos de los cuatro vértices, la zona es $$ \frac{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)+\sin(2\delta)}{8} = \frac 1 2\Big(\overbrace{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}^\text{sines}\ \overbrace{\cos\delta}^\text{coseno}+\cdots\text{ tres }\cdots\Big) $$
Se podría pensar que los cuatro términos son áreas de los cuatro triángulos en que el polígono está dividido por las diagonales. Pero, ¿adivinen qué?? Que no lo eres! Del mismo modo, el pentagrama se divide el pentágono en $11$ triángulos, y hay $11$ términos en el lado derecho, pero que no se corresponden con las áreas.
