Discriminante para $x^n+bx+c$

Question

La relación de los sin signo de los coeficientes para el discriminantes de $x^n+bx+c$ $n=2$ $5$siguen un patrón simple:

$$\left (\frac{2^2}{1^1},\frac{3^3}{2^2},\frac{4^4}{3^3},\frac{5^5}{4^4} \right )=\left ( \frac{4}{1},\frac{27}{4},\frac{256}{27},\frac{3125}{256} \right )$$

correspondiente a la discriminantes

$$(b^2-4c, -4b^3-27c^2,-27b^4+256c^3,256b^5+3125c^4).$$

¿El patrón de las relaciones de extender a órdenes superiores? (Una referencia en línea sería apreciada.)

Answer 1

Sí. Sketch: $b$ es simétrica polinomio de grado $n-1$ en las raíces y $c$ es simétrica polinomio de grado $n$, mientras que todo el discriminante es simétrica polinomio de grado $n(n-1)$. De ello se desprende que el discriminante es una combinación lineal de $b^n$$c^{n-1}$, y los coeficientes puede ser determinado por la configuración de $b = 0, c = -1$ y, a continuación, $b = -1, c = 0$ y la reducción para el cálculo del discriminante de $x^n - 1$.

Answer 2

El uso de la relación entre el disciminant de $f$ y el resultante de $f$$f'$. La resultante es fácil de calcular ya que $f'$ es tan simple.