Escribir una probabilidad en términos de las aristas de un simplex

Question

Describo la dimensión del problema $2$ pero podría generalizarse a $n$ dimensiones.

Así que tenemos $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ tres $iid$ variables aleatorias de ley continua $F(x,y)$ en $\Bbb R^2$ . Denotemos por $S[X_{1}, X_{2}, X_{3}]$ el simplex generado por esas variables aleatorias. Dado un punto $(x,y)$ ¿es posible escribir $P((x,y)\in S[X_{1}, X_{2}, X_{3}])$ en función de $g$ de $F(x,y)$ ? Por ejemplo, en la dimensión $1$ , $P(x\in [X_{1}, X_{2}]) = 2F(x)(1-F(x))$ .

Gracias

Answer 1

Dados tres puntos distintos cualesquiera $A, B, C$ , dejemos que

• $\overrightarrow{AB}$ sea el rayo que parte de $A$ señalando hacia $B$ .
• $\overleftarrow{AC}$ sea el rayo que parte de $A$ señalando en dirección opuesta a $C$ .
• $\mathcal{C}(A,B,C)$ es el cono obtenido al girar una semirrecta que parte de $\overrightarrow{AB}$ a $\overleftarrow{AC}$ en sentido contrario a las agujas del reloj.
• $\mathcal{H}(A,B) = \mathcal{C}(A,B,B)$ sea el semiespacio en el lado "izquierdo" del rayo $\overrightarrow{AB}$ .

Dado cualquier punto fijo $P = (x_P,y_P)$ y tres puntos aleatorios $X_1, X_2, X_3$ de una distribución continua. Aparte de los sucesos de probabilidad cero, los cuatro puntos $P, X_1, X_2, X_3$ estarán en posición general, es decir, ninguna de las tres será colineal. Sea $Y_1, Y_2, Y_3$ sea una reordenación de los $X_1, X_2, X_3$ para que $Y_1, Y_2, Y_3$ rodea el triángulo $\triangle_{X_1X_2X_3}$ en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Existen cuatro posibilidades mutuamente excluyentes para la posición de $P$ en relación con $Y_1, Y_2, Y_3$ . $P$ puede estar en el interior de triángulo $\triangle_{Y_1Y_2Y_3}$ o interior de uno de los conos $\color{red}{\mathcal{C}(Y_1,Y_3,Y_2)}, \color{green}{\mathcal{C}(Y_2,Y_1,Y_3)}$ y $\color{blue}{\mathcal{C}(Y_3,Y_2,Y_1)}$ .

$\hspace{1in}$

Existe un criterio sencillo para comprobar si $P$ pertenece a uno de los conos.

Como puede verse en el diagrama anterior, $P \in \mathcal{C}(Y_1,Y_3,Y_2)$ es más o menos equivalente a $Y_2,Y_3$ se encuentran en el lado "izquierdo" del rayo $\overrightarrow{PY_1}$ (la zona sombreada en el diagrama anterior). Lo mismo ocurre con los otros dos conos. Aparte de los sucesos de probabilidad cero, tenemos $$ \begin{align} P \in \mathcal{C}(Y_1,Y_3,Y_2)\quad\iff\quad Y_2,Y_3 \in \mathcal{H}(P,Y_1)\\ P \in \mathcal{C}(Y_2,Y_1,Y_3)\quad\iff\quad Y_3,Y_1 \in \mathcal{H}(P,Y_2)\\ P \in \mathcal{C}(Y_3,Y_2,Y_1)\quad\iff\quad Y_1,Y_2 \in \mathcal{H}(P,Y_3) \end{align} $$

Utilizando la simetría y el hecho $X_1, X_2, X_3$ son $iid$ de la misma distribución continua, tenemos

$$ \mathbb{P}\left[P \in \triangle_{X_1X_2X_3}\right] = 1 - 3\mathbb{P}\left[ Y_2,Y_3 \in \mathcal{H}(P,Y_1) \right] = 1 - 3\mathbb{E}\left[ \mathbb{P}\left[ X_2 \in \mathcal{H}(P,X_1) | X_1 \right]^2 \right]$$

Esto conduce a la siguiente representación integral de la probabilidad deseada $$\mathbb{P}\left[P \in \triangle_{X_1X_2X_3}\right] = 1 - 3\int_{0}^{2\pi} \rho(P,\theta) \left[ \int_{\theta}^{\theta+\pi}\rho(P,\phi)d\phi \right]^2 d\theta $$ donde $$\rho(P,\theta)\stackrel{def}{=} \int_{0}^{\infty}F(x_P+r\cos\theta,y_P+r\sin\theta) rdr$$ es la función de densidad de probabilidad del rayo $\overrightarrow{PX_1}$ formar un ángulo $\theta$ con respecto al $x$ -Eje.

Hay un caso especial interesante. Cuando $F(x,y)$ es centralmente simétrica con respecto a $P$ , $$\mathbb{E}\left[X_2 \in \mathcal{H}(P,X_1) | X_1\right] = \int_{\theta}^{\theta+\pi} \rho(P,\phi)d\phi = \frac12$$ independiente de $\theta$ . En ese caso, tenemos $$\mathbb{P}\left[P \in \triangle_{X_1X_2X_3}\right] = 1 - 3\left(\frac12\right)^2 = \frac14 $$

Answer 2

Esto se basa en la coordenadas baricéntricas . Aplicación de La regla de Cramer o utilizando el software adecuado, se obtiene \begin{aligned} a_1 &= \frac{x_2 y_3 - y_2 x_3 + x_3 y - x y_3 - x_2 y + y_2 x}{-x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_1 y_3 + y_1 x_3 + y_2 x_1 - y_2 x_3} \, , \\ \\ a_2 &= \frac{x_1 y - x_1 y_3 - x_3 y + y_1 x_3 + x y_3 - y_1 x}{-x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_1 y_3 + y_1 x_3 + y_2 x_1 - y_2 x_3} \, , \\ \\ a_3 &= \frac{-x_2 y_1 - x_1 y + y_1 x + x_2 y + y_2 x_1 - y_2 x}{-x_2 y_1 + x_2 y_3 -x_1 y_3 + y_1 x_3 + y_2 x_1 - y_2 x_3} \, , \end{aligned} donde $X_i=(x_i,y_i)$ y $X=(x,y)$ . No parece que exista una regla sencilla para encontrar la ley de $a_i$ pero los denominadores en $\lbrace a_1, a_2, a_3\rbrace$ son todos iguales, y los numeradores son muy similares. Se puede ver el problema desde otro punto de vista. En efecto, se pueden calcular las aristas del triángulo: \begin{aligned} E_{12}: & \;\left(y - y_1\right) \left(x_2 - x_1\right) = \left(y_2 - y_1\right) \left(x - x_1\right) \, , \\ E_{13}: & \;\left(y - y_1\right) \left(x_3 - x_1\right) = \left(y_3 - y_1\right) \left(x - x_1\right) \, , \\ E_{23}: & \;\left(y- y_2\right) \left(x_3 - x_2\right) = \left(y_3 - y_2\right) \left(x - x_2\right) \, . \\ \end{aligned} El punto $X=(x,y)$ pertenece al triángulo si $X$ pertenece al mismo semiplano que $X_3$ con respecto a $E_{12}$ : \begin{aligned} \text{sign}\left(\left(y - y_1\right) \left(x_2 - x_1\right) - \left(y_2 - y_1\right) \left(x - x_1\right)\right) = \text{sign}\left(\left(y_3 - y_1\right) \left(x_2 - x_1\right) - \left(y_2 - y_1\right) \left(x_3 - x_1\right)\right) , \end{aligned} etc. Esta última ecuación no es muy diferente de $a_3\geq 0$ .