Aniquilador de un módulo plano y fielmente plano

Question

Dejemos que $R$ sea un dominio integral y que $M$ sea un piso $R$ -módulo. Entonces $M$ es libre de torsión, por lo que $am \neq 0$ para todos $0 \neq a \in A$ y $0 \neq m \in M$ . En particular, si $0 \neq a \in A$ entonces $aM \neq 0$ . Así que, $Ann_R(M) = 0$ .

Pero entonces esta pregunta implica que todos los módulos planos finitamente generados son ya fielmente planos, por lo que esto parece ser erróneo.

Entonces, ¿cómo puede un módulo libre de torsión tener un aniquilador no trivial? Debo estar entendiendo algo mal.

También pensé que cuando $M$ es libre de torsión, entonces para cualquier ideal primo $P$ de $R$ el mapa de localización $M \rightarrow M_P$ es inyectiva, por lo que si $M$ es distinto de cero, por lo que también lo es $M_P$ y por lo tanto $Supp(M) = Spec(R)$ , lo que implica $Ann(M) = 0$ para $M$ generada finitamente.

¿Qué está mal aquí? Esto debe ser absolutamente estúpido.

Answer 1

El resultado es cierto.

Si quieres tomar otra ruta, entonces usa un resultado de Cartier (ver Lemme 5 en la página 249) que dice que sobre un dominio integral los módulos planos finitamente generados son proyectivos. Entonces comprueba que un módulo proyectivo finitamente generado $P\ne0$ tiene la propiedad de que $mP\ne P$ para cualquier ideal máximo $m$ Así que $P$ es fielmente plana. Supongamos lo contrario, localizar en $m$ Utiliza Nakayama y encuentra un $s\in R-m$ tal que $sP=0$ . Pero esto no es posible ya que $P$ es un sumando directo de un módulo libre, y $R$ es un dominio integral.