Una función convexa que limita en un barrio es Lipschitz

Question

Vamos a considerar una normativa espacio vectorial $V$. Quiero demostrar que la

Si $f:V\to \mathbb R$ es una función convexa y si por alguna $x_0 \in V$ la función está acotada en un vecindario $W$$x_0$, entonces existe una vecindad $U$ $x_0$ tal que $f$ es de Lipschitz en $U$.

Cuando me dicen que el barrio de $x_0$ me refiero a un conjunto abierto que contiene a $x_0$ WLOG el barrio claramente puede ser considerada como una bola con centro de $x_0$.

No sé qué puedo hacer, porque me puede calcular directamente a $f(x)-f(y)$ debido a la convexidad sólo funciona con un resultado positivo de escalares. Así que estoy un poco confundido, por favor, ayúdame!

Answer 1

Elegir $r > 0$ tal limita que $f$ $\bar U_{2r}(x_0)$. Probaremos que $f$ es Lipschitz en $\bar U_r(x_0)$. Así que deje que $x,y \in \bar U_r(x_0)$, elija $z \in \partial U_{2r}(x_0)$ tal que cruza de la ray $x + [0,\infty) \cdot (y-x)$ $\partial U_{2r}(x_0)$ $z$. Que $\lambda := \def\norm#1{\left\|#1\right\|}{\norm{y-x}}\bigm/{\norm{z-x}}$. Convexidad, tenemos\begin{align*} f(y) - f(x) &\le \lambda \cdot \bigl(f(z) - f(x)\bigr)\\ &= \frac{f(z)-f(x)}{\norm{z-x}}\cdot \norm{y-x} \end{align*} ahora, $\norm{z-x} \ge r$, $$ f(y) - f(x) \le \frac{2\norm{f}_{\infty, \bar U_{2r}(x_0)}}r \cdot \norm{y-x} $ $ intercambiando los papeles de $x$ y $y$, obtenemos finalmente $$ \def\abs#1{\left|#1\right|} \abs{f(y) - f(x)} \le \frac{2\norm{f}_{\infty, \bar U_{2r}(x_0)}}r \cdot \norm{y-x}, \quad x,y \in \bar U_r(x_0). $ $