Cómo calcular esta integral

Question

Tengo un % de la función #% definida en el dominio $u(x,y)$ #%. Saber que $|x|<\infty, y>0$ $ ¿cómo puedo calcular $$ \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} = \frac{y}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(w)}{y^2 + (x-w)^2}dw$? No tengo ni idea de cómo resolver esta integral.

Answer 1

Si $f$ es tal que puede invertir el orden de integración

$$u(x,y) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dw \, f(w) \, \int_0^{Y} dy \frac{y}{y^2+(x-w)^2} + g(x)$$

donde $g$ es una función de $x$ solamente. Usé esos límites de integración $y$ porque ha especificado $y>0$, pero la integral diverge en $\infty$. Observe que el integral interno

$$\frac12 \log{[Y^2 + (x-w)^2]} - \log{(x-w)}$$

Answer 2

También se podría hacer algo como esto si que es útil...

Voy a cambiar el nombre de su $w$$r$, por lo que no hay que confundir las cosas donde yo lo uso $\omega$ más tarde; su ecuación es entonces:

$${\frac {\partial }{\partial y}}u \left( x,y \right) =y\int _{-\infty } ^{\infty }\!{\frac {f \left( r \right) }{{y}^{2}+ \left( x-r \right) ^ {2}}}{dr}$$

El lado derecho tiene la forma de una convolución. Por lo tanto, por el teorema de convolución, si tomamos la transformada de Fourier obtenemos el producto de dos funciones; una de ellas es la de Fourier transfrom de $f$ y la otra es la transformada de Fourier de una función de Lorenz, que es una de amortiguamiento exponencial. En este caso es más útil el uso de esta forma de la transformada de Fourier: $$U \left( \omega,y \right) =\,\dfrac{1 }{2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }\!u \left( x,y \right) {{\rm e}^{-i\omega\,x}}{dx} $$

$$u \left( x,y \right) =\int _{-\infty }^{\infty }\!U \left( \omega,y \right) {{\rm e}^{i\omega\,x}}{d\omega} $$

A continuación, obtener:

$${\frac {\partial }{\partial y}}U \left( \omega,y \right) =F \left( \omega \right)G \left( \omega ,y\right) $$

$$F \left( \omega \right) =\dfrac{1 }{2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }\!f \left( x \right) {{\rm e}^{-i\omega\,x}}{dx}$$

$$G \left( \omega,y \right) =\dfrac{1 }{2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }\!{\frac { \left| y \right| {}}{ \left| y \right| ^ {2}+{x}^{2}}}{\rm e}^{-i\omega\,x}{dx}=1/2\,{{\rm e}^{- \left| \omega \right| \left| y \right| }}$$

por lo que el diferencial de la ecuación se convierte en: $${\frac {\partial }{\partial y}}U \left( \omega,y \right) =1/2\,F \left( \omega \right) {{\rm e}^{- \left| \omega \right| \left| y \right| }}$$

que es solucionable: $$U \left( \omega,y \right) =-1/2\,{\frac {F \left( \omega \right) { {\rm e}^{- \left| \omega \right| \left| y \right| }}}{ \left| \omega \right| \left| y \right| }}+K(\omega)$$ para $K(\omega)$ constante la medida de lo $y$ es de que se trate, y por lo tanto:

$$u \left( x,y \right) =\int _{-\infty }^{\infty }\! \left( -1/2\,{ \frac {F \left( \omega \right) {{\rm e}^{- \left| \omega \right| \left| y \right| }}}{ \left| \omega \right| \left| y \right| }}+K(\omega) \right) {{\rm e}^{i\omega\,x}}{d\omega}$$

$$u \left( x,y \right) =\int _{-\infty }^{\infty }\! \left( -1/2\,{ \frac {F \left( \omega \right) {{\rm e}^{- \left| \omega \right| \left| y \right| }}}{ \left| \omega \right| \left| y \right| }} \right) {{\rm e}^{i\omega\,x}}{d\omega}+k(x)$$

Answer 3

Usted no ha dicho nada acerca de la función de $f(w)$ (usted realmente debe).

Si $f$ es holomorphic en el complejo de la mitad superior del plano -, y está limitada al infinito, $f(w)=O(1)$, $|w|\to\infty$, $\Im w\geq0$, a continuación, puede utilizar el teorema de Cauchy para escribir $$ \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{f(an)}{(w-x)^2+y^2}\,dw = 2iy\,\text{Res}_{w=x+iy}\frac{f(an)}{(w-x)^2+y^2} = f(x+iy),$$ de manera que su función de $u(x,y)$ puede ser escrito como $$ u(x,y) = g(x) + \int^y f(x+iy')\,dy', $$ donde $g(x)$ es una función arbitraria de $x$.

Otras cosas también suceden en las propiedades de $f(w)$.