Qué duro es el teorema de Lefschetz "duro"?

Question

Deje $X$ ser un equipo compacto Kähler colector de la compleja dimensión de $\dim_{\mathbb C} = n$. Deje $[\omega]$ ser el cohomology de clase de un Kähler métrica en $X$. A continuación, los poderes de la clase $[\omega]$ define un lineal de morfismos entre cohomology grupos

$$ L^k : H^{n-k}(X,\mathbb C) \longrightarrow H^{n+k}(X,\mathbb C) $$

que es dada simplemente por la copa del producto contra la clase $[\omega]^k$. El duro teorema de Lefschetz dice que eso es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Pregunta: ¿por Qué llamamos a esto el "duro" teorema de Lefschetz?

Moderno pruebas de este teorema no se que intervienen; uno toma un Kähler métrica $\omega$ y demuestra que el Kähler identidades en $X$, y el resto sigue a continuación, a partir de la existencia de primitivas de descomposición. Por lo tanto parece un poco de bombo a llamar el teorema de "duro".

Uno podría pensar que esto es para distinguirlo de otro teorema de Lefschetz, a menudo llamado el "débil" teorema de Lefschetz, lo que da un resultado similar en el caso de que $[\omega]$ es la clase de Chern de una amplia línea de paquete. Pero tendríamos seguramente le llaman a esto el "fuerte" teorema de Lefschetz, ¿verdad?

Answer 1

Esta pregunta sólo puede tener una respuesta subjetiva (que es realmente divertido, de vez en cuando!), así que aquí están algunas observaciones personales.

1) Usted es un dinámico estudiante de Doctorado de trabajo en el 2012 bajo la supervisión de Demailly, un líder mundial en el complejo de la geometría algebraica.
Usted tiene a su disposición una tecnología que no existía en Lefschetz' tiempo: singular y De Rham cohomology, mayor homotopy grupos, Kähler colectores, Hodge teoría,...
Incluso la noción abstracta de un finito-dimensional espacio vectorial no había sido axiomatized.
Así que cuando usted dice que el teorema no es tan difícil, no se debe perder de vista el contexto histórico en el que Lefschetz "demostrado" su teorema en 1924.

2) escribí "demostrado" entre comillas, ya que como Sabbah diplomaticallty pone, Lefschetz' prueba fue "insuficiente".
Por lo que el teorema no fue fácil, incluso para los Lefschetz.

3) El teorema ha fascinado a muchos Campos de medallistas y otros gigantes que dio pruebas de una versión del teorema: Andreotti, Frankel, Thom, Bott, Kodaira, Spencer, Artin, Grothendieck, Deligne.
Esta es sin duda una indicación de la profundidad del teorema de...

4) al Igual que usted soy entusiasta sobre la complejidad algebraica de colectores y estoy agradecido por la trascendental métodos , como la Kähler la teoría, que nos permiten el estudio de los mismos.
Sin embargo algebraica de los geómetras que también desee considerar la posibilidad de variedades algebraicas en el carácter $p$, y estos trascendental herramientas lamentablemente romper completamente.
Duro Lefschetz para suavizar las variedades más finito campos fue demostrado por Deligne sólo en 1980, después de mucho trabajo preliminar de sí mismo y de Grothendieck (cf. SGA7).
Me gustaría suponer que la terminología "Lefschetz vache", presentado por Grothendieck debe entenderse en ese contexto.

5) por último, incluso en el caso complejo, me parece la prueba de duro Lefschetz empezar desde cero no es tan fácil.
Voy a dejar que usted y los demás usuarios juez mediante la vinculación a un curso gratuito online de Sabbah en la teoría de Hodge y duro Lefschetz (en la Introducción de la que escribe el diplomático comentario antes mencionados!)

Editar
Dado que este es un buen humor, la no-respuesta técnica, me tomaré la libertad de citar los siguientes hermosa metáfora por Lefschetz:

Fue mi suerte a la planta el arpón de la topología algebraica en el cuerpo de la ballena de la geometría algebraica