El crédito va a Studentmath y Ted Shifrin para discutir esto conmigo en el MSE de chat.
Uno de los más viables enfoques (aunque no exactamente elegante) es la aplicación de la inclusión-exclusión en el tamaño de la intersección $\displaystyle\bigcap_{i=1}^n e_i$.
Así podemos determinar la probabilidad de que la intersección contiene un cierto conjunto de tamaño $i$, dicen. Para ello, elegimos $i$ elementos y, a continuación, para cada una de las $q$-subconjunto, $q-i$ elementos para ir con ella. Este se obtiene: $$\binom p i \binom{p-i}{q-i}^n \binom{p}{q}^{-n}$$
Ahora, por supuesto, tenemos que hacer los familiares de corrección de la doble contabilización, produciendo los siguientes criterios de inclusión-exclusión suma: $$\sum_{i=1}^q (-1)^{i+1} \binom p i \binom{p-i}{q-i}^n \binom{p}{q}^{-n}$$
Actualización: Cuando hay un deseo para calcular varios valores, o para conocer la distribución exacta sobre los diferentes intersección tamaños, los siguientes recursiva enfoque puede ser útil:
Deje $N(k, i)$ denotar el número de maneras $k$ $q$-los subconjuntos pueden tener una intersección con $i$ elementos. Entonces podemos derivar $N(k, i)$ de la $N(k-1, *)$ como sigue:
\begin{align*}
N(k,i) &= \frac 1n \sum_{j=i}^q N(k-1,j) \binom j i \binom{p-j}{q-i} \\
N(1,i) &= \begin{cases}
0 & :i \ne q \\
\binom p q & :i = q
\end{casos}
\end{align*}
donde el $\frac 1n$ corrige para el que lo ordene la secuencia de adición de los $q$-subconjuntos a nuestra consideración.
