Este es mi primer ejercicio para el espacio de modelos de estado y tengo un par de preguntas que me haría falta para resolver antes de realmente empezar a hacer el ejercicio. Por desgracia, soy de auto aprendizaje (tengo ningún profesor de preguntar) y me temo que no hay solución compañero de Durbin y Koopman (2012)!
Considerar el nivel local modelo (2.3).
(a) Dar el modelo de representación para$x_t = y_t - y_{t-1}$$t = 2, ..., n$.
(b) Demostrar que el modelo de $x_t$ (a) puede tener las mismas propiedades estadísticas como el modelo dado por $x_t = \epsilon_t + \theta \epsilon_{t-1}$ donde $\epsilon \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$ son independientes de las perturbaciones de la varianza $\sigma_{\epsilon}^2 > 0$ y para un cierto valor $\theta$.
(c) ¿Para qué valor de $\theta$, en términos de$\sigma_{\epsilon}^2$$\sigma_{\eta}^2$, son el modelo de las representaciones de $x_t$ en (a) y (b) equivalente? Comentario.
Para el registro, el nivel local de modelo (2.3) es dada por:
$y_t = \alpha_t + \epsilon_t \quad\quad \epsilon_t \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$
$\alpha_{t+1} = \alpha_t + \eta_t \quad\quad \eta_t \sim N(0, \sigma_{\eta}^2)$
Dudas acerca de (a)
Primero de todos, el modelo propuesto en (a) se ve como el ruido (lo que hace perfecto sentido, ya que es la primera diferencia de un paseo aleatorio). Es la siguiente representación correcta?
$$ x_t = y_t - y_{t-1} = \alpha_t + \epsilon_t - \alpha_{t-1} - \epsilon_{t-1} $$ $$ x_t = \alpha_{t-1} + \eta_{t-1} + \epsilon_t - \alpha_{t-1} - \epsilon_{t-1} $$ $$ x_t = \eta_{t-1} + \epsilon_{t} - \epsilon_{t-1} $$
Esto me hace dudar. En primer lugar, el estado de perturbación $\eta_{t-1}$ es ahora parte de la observación de la ecuación. Segundo, ¿qué hace el estado de la ecuación de decir ahora que la observación de la ecuación no se refieren a los observados estados $\alpha_t$? Tercero, y de alguna manera relacionados, lo que la media no se ve ahora el estado de que $\alpha_t$ no está ya en la fórmula? Cero?
Dudas acerca de (b)
Además, me pregunto cómo mostrar que los modelos tienen las mismas propiedades estadísticas. ¿Qué tienes que demostrar a decir que son el mismo? Mismo valor esperado y la varianza de la observación de la $x_t$, observado estado $\alpha_t$, el error de predicción de $v_t = x_t - a_t $, filtrada desapercibida estado, actualizado desapercibida estado, etc.? Puesto que todas las variables aleatorias son Normales, supongo que muestre los primeros dos momentos del partido es suficiente, pero a) ¿qué distribución (marginal, condicionales condicionales en qué?) b) ¿qué variables (observado, estado oculto, el error de predicción, etc.) debería ser igual?
Cualquier comentario se agradece mucho!
Actualización
Aquí es donde tengo después de las sugerencias proporcionadas por @Glen_b y @javlacalle.
(a)
$$ x_t = \eta_{t-1} + \epsilon_t - \epsilon_{t-1}$$
(b)
Respecto al modelo de $x_t$ dada en (a)
$$ E[x_t | x_{t-1}] = 0 $$ $$ \gamma(0) = Var(x_t | x_{t-1}) = \sigma_{\eta}^2 + 2\sigma_{\epsilon}^2 $$ $$ \gamma(1) = Cov(x_t, x_{t-1}) = -\sigma_{\epsilon}^2 $$ $$ \gamma(2) = Cov(x_t, x_{t-2}) = 0 $$ $$ \rho(1) = \frac{-\sigma_{\epsilon}^2}{\sigma_{\eta}^2 + 2\sigma_{\epsilon}^2} $$ $$ \rho(2) = 0 $$
Respecto al modelo de $x_t$ propuesto en (b), que he cambiado a $z_t$ para evitar la confusión
$$ E[z_t | z_{t-1}] = 0 $$ $$ \gamma(0) = Var(z_t | z_{t-1}) = \sigma_{\epsilon}^2 (1 + \theta^2) $$ $$ \gamma(1) = Cov(z_t, z_{t-1}) = \theta \sigma_{\epsilon}^2 $$ $$ \gamma(2) = Cov(z_t, z_{t-2}) = 0 $$ $$ \rho(1) = \frac{\theta}{1 + \theta^2} $$ $$ \rho(2) = 0 $$
(c)
$$ E[x_t | x_{t-1}] = E[z_t | z_{t-1}] = 0 \quad \qquad (c.1) $$
$$ \gamma_{x_t}(0) = \gamma_{z_t}(0) \leftrightarrow \sigma_{\eta}^2 + 2\sigma_{\epsilon}^2 = \sigma_{\epsilon}^2 (1 + \theta^2) \quad \quad (c.2) $$
$$ \gamma_{x_t}(1) = \gamma_{z_t}(1) \leftrightarrow -\sigma_{\epsilon}^2 = \theta \sigma_{\epsilon}^2 \rightarrow \theta = -1 \quad \quad (c.3) $$
$$ \gamma_{x_t}(2) = \gamma_{z_t}(2) = 0 \quad \quad (c.4) $$
$$ \rho_{x_t}(1) = \rho_{z_t}(1) \leftrightarrow \frac{-\sigma_{\epsilon}^2}{\sigma_{\eta}^2 + 2\sigma_{\epsilon}^2} = \frac{\theta}{1 + \theta^2} \quad \quad (c.5) $$
$$ \rho_{x_t}(2) = \rho_{z_t}(2) = 0 \quad \quad (c.6) $$
Ecuaciones c.1, c.4 y c.6 implicará ningún tipo de restricciones para $\theta$, pero ecuaciones c.2, c.3 y c.5 claramente no son consistentes.
